Theorem isfinite2 7798

Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite2

Proof of Theorem isfinite2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 7543	. . 3
2	1	brrelex2i 5046	. 2
3		sdomdom 7563	. . . 4
4		domeng 7550	. . . 4
5	3, 4	syl5ib 219	. . 3
6		ensym 7584	. . . . . . . . . . 11
7	6	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10
8		simpl 457	. . . . . . . . . 10
9		ensdomtr 7673	. . . . . . . . . 10
10	7, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
11		sdomnen 7564	. . . . . . . . 9
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . 8
13		simpr 461	. . . . . . . . 9
14		unbnn 7796	. . . . . . . . . 10
15	14	3expia 1198	. . . . . . . . 9
16	2, 13, 15	syl2an 477	. . . . . . . 8
17	12, 16	mtod 177	. . . . . . 7
18		rexnal 2905	. . . . . . . . 9
19		omsson 6704	. . . . . . . . . . . . 13
20		sstr 3511	. . . . . . . . . . . . 13
21	19, 20	mpan2 671	. . . . . . . . . . . 12
22		nnord 6708	. . . . . . . . . . . 12
23		ssel2 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	24	elon 4892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26	23, 25	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
27		ordtri1 4916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28	26, 27	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29	28	an32s 804	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	29	ralbidva 2893	. . . . . . . . . . . . . 14
31		unissb 4281	. . . . . . . . . . . . . 14
32		ralnex 2903	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	bicomi 202	. . . . . . . . . . . . . 14
34	30, 31, 33	3bitr4g 288	. . . . . . . . . . . . 13
35		ordunisssuc 4985	. . . . . . . . . . . . 13
36	34, 35	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . 12
37	21, 22, 36	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
38		peano2b 6716	. . . . . . . . . . . . . 14
39		ssnnfi 7759	. . . . . . . . . . . . . 14
40	38, 39	sylanb 472	. . . . . . . . . . . . 13
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
42	41	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
43	37, 42	sylbid 215	. . . . . . . . . 10
44	43	rexlimdva 2949	. . . . . . . . 9
45	18, 44	syl5bir 218	. . . . . . . 8
46	45	ad2antll 728	. . . . . . 7
47	17, 46	mpd 15	. . . . . 6
48		simprl 756	. . . . . 6
49		enfii 7757	. . . . . 6
50	47, 48, 49	syl2anc 661	. . . . 5
51	50	ex 434	. . . 4
52	51	exlimdv 1724	. . 3
53	5, 52	sylcom 29	. 2
54	2, 53	mpcom 36	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  Ordword 4882  con0 4883  succsuc 4885  com 6700  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535  cfn 7536

This theorem is referenced by:  isfiniteg  7800  unfi2  7809  unifi2  7830  axcclem  8858  dirith2  23713  volmeas  28203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540