Theorem isoini 6234

Description: Isomorphisms preserve initial segments. Proposition 6.31(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 20-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isoini

Proof of Theorem isoini

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3686	. . . 4
2		isof1o 6221	. . . . . . . . 9
3		f1ofo 5828	. . . . . . . . 9
4		forn 5803	. . . . . . . . . 10
5	4	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9
6	2, 3, 5	3syl 20	. . . . . . . 8
7		f1ofn 5822	. . . . . . . . 9
8		fvelrnb 5920	. . . . . . . . 9
9	2, 7, 8	3syl 20	. . . . . . . 8
10	6, 9	bitr3d 255	. . . . . . 7
11		fvex 5881	. . . . . . . 8
12		vex 3112	. . . . . . . . 9
13	12	eliniseg 5371	. . . . . . . 8
14	11, 13	mp1i 12	. . . . . . 7
15	10, 14	anbi12d 710	. . . . . 6
16	15	adantr 465	. . . . 5
17		elin 3686	. . . . . . . . . . . 12
18		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14
19	18	eliniseg 5371	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12
21	17, 20	syl5bb 257	. . . . . . . . . . 11
22	21	anbi1d 704	. . . . . . . . . 10
23		anass 649	. . . . . . . . . 10
24	22, 23	syl6bb 261	. . . . . . . . 9
25	24	adantl 466	. . . . . . . 8
26		isorel 6222	. . . . . . . . . . . . . 14
27	2, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
28		fnbrfvb 5913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29	28	bicomd 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30	27, 29	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	30	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14
32	26, 31	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13
33		ancom 450	. . . . . . . . . . . . . 14
34		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	34	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . . . . 14
36	33, 35	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13
37	32, 36	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12
38	37	exp32 605	. . . . . . . . . . 11
39	38	com23 78	. . . . . . . . . 10
40	39	imp 429	. . . . . . . . 9
41	40	pm5.32d 639	. . . . . . . 8
42	25, 41	bitrd 253	. . . . . . 7
43	42	rexbidv2 2964	. . . . . 6
44		r19.41v 3009	. . . . . 6
45	43, 44	syl6bb 261	. . . . 5
46	16, 45	bitr4d 256	. . . 4
47	1, 46	syl5bb 257	. . 3
48	47	abbi2dv 2594	. 2
49		dfima2 5344	. 2
50	48, 49	syl6reqr 2517	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808  cvv 3109  i^icin 3474  {csn 4029   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  rancrn 5005  "cima 5007  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594

This theorem is referenced by:  isoini2  6235  isoselem  6237  infxpenlem  8412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602