Theorem isoini2 6235

Description: Isomorphisms are isomorphisms on their initial segments. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoini2.1
isoini2.2

Assertion

Ref	Expression
isoini2

Proof of Theorem isoini2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 6221	. . . . . 6
2		f1of1 5820	. . . . . 6
3	1, 2	syl 16	. . . . 5
4	3	adantr 465	. . . 4
5		isoini2.1	. . . . 5
6		inss1 3717	. . . . 5
7	5, 6	eqsstri 3533	. . . 4
8		f1ores 5835	. . . 4
9	4, 7, 8	sylancl 662	. . 3
10		isoini 6234	. . . . 5
11	5	imaeq2i 5340	. . . . 5
12		isoini2.2	. . . . 5
13	10, 11, 12	3eqtr4g 2523	. . . 4
14		f1oeq3 5814	. . . 4
15	13, 14	syl 16	. . 3
16	9, 15	mpbid 210	. 2
17		df-isom 5602	. . . . . . 7
18	17	simprbi 464	. . . . . 6
19	18	adantr 465	. . . . 5
20		ssralv 3563	. . . . . 6
21	20	ralimdv 2867	. . . . 5
22	7, 19, 21	mpsyl 63	. . . 4
23		ssralv 3563	. . . 4
24	7, 22, 23	mpsyl 63	. . 3
25		fvres 5885	. . . . . . 7
26		fvres 5885	. . . . . . 7
27	25, 26	breqan12d 4467	. . . . . 6
28	27	bibi2d 318	. . . . 5
29	28	ralbidva 2893	. . . 4
30	29	ralbiia 2887	. . 3
31	24, 30	sylibr 212	. 2
32		df-isom 5602	. 2
33	16, 31, 32	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  |`cres 5006  "cima 5007  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594

This theorem is referenced by:  fz1isolem  12510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602