Theorem isomin 6233

Description: Isomorphisms preserve minimal elements. Note that is Takeuti and Zaring's idiom for the initial segment . Proposition 6.31(1) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isomin

Proof of Theorem isomin

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neq0 3795	. . . 4
2		ssel 3497	. . . . . . . . . . . . . 14
3		isof1o 6221	. . . . . . . . . . . . . . 15
4		f1ofn 5822	. . . . . . . . . . . . . . 15
5		fnbrfvb 5913	. . . . . . . . . . . . . . . 16
6	5	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15
7	3, 4, 6	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14
8	2, 7	syl9r 72	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	imp31 432	. . . . . . . . . . . 12
10	9	rexbidva 2965	. . . . . . . . . . 11
11		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
12	11	elima 5347	. . . . . . . . . . 11
13	10, 12	syl6rbbr 264	. . . . . . . . . 10
14		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
15	11	eliniseg 5371	. . . . . . . . . . 11
16	14, 15	mp1i 12	. . . . . . . . . 10
17	13, 16	anbi12d 710	. . . . . . . . 9
18		elin 3686	. . . . . . . . 9
19		r19.41v 3009	. . . . . . . . 9
20	17, 18, 19	3bitr4g 288	. . . . . . . 8
21	20	adantrr 716	. . . . . . 7
22		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . 14
23	22	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . 13
24		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	24	eliniseg 5371	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14
27		isorel 6222	. . . . . . . . . . . . . 14
28	26, 27	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . 13
29	23, 28	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . 12
30	29	exp32 605	. . . . . . . . . . 11
31	2, 30	syl9r 72	. . . . . . . . . 10
32	31	com34 83	. . . . . . . . 9
33	32	imp32 433	. . . . . . . 8
34	33	reximdvai 2929	. . . . . . 7
35	21, 34	sylbid 215	. . . . . 6
36		elin 3686	. . . . . . . 8
37	36	exbii 1667	. . . . . . 7
38		neq0 3795	. . . . . . 7
39		df-rex 2813	. . . . . . 7
40	37, 38, 39	3bitr4i 277	. . . . . 6
41	35, 40	syl6ibr 227	. . . . 5
42	41	exlimdv 1724	. . . 4
43	1, 42	syl5bi 217	. . 3
44	43	con4d 105	. 2
45	3, 4	syl 16	. . . . . . . . 9
46		fnfvima 6150	. . . . . . . . . . 11
47	46	3expia 1198	. . . . . . . . . 10
48	47	adantrr 716	. . . . . . . . 9
49	45, 48	sylan 471	. . . . . . . 8
50	49	adantrd 468	. . . . . . 7
51	27	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . 14
52		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	52	eliniseg 5371	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	14, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
55	51, 54	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . . 13
56	26, 55	sylbid 215	. . . . . . . . . . . 12
57	56	exp32 605	. . . . . . . . . . 11
58	2, 57	syl9r 72	. . . . . . . . . 10
59	58	com34 83	. . . . . . . . 9
60	59	imp32 433	. . . . . . . 8
61	60	impd 431	. . . . . . 7
62	50, 61	jcad 533	. . . . . 6
63		elin 3686	. . . . . 6
64	62, 36, 63	3imtr4g 270	. . . . 5
65		n0i 3789	. . . . 5
66	64, 65	syl6 33	. . . 4
67	66	exlimdv 1724	. . 3
68	38, 67	syl5bi 217	. 2
69	44, 68	impcon4bid 205	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  "cima 5007  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594

This theorem is referenced by:  isofrlem  6236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602