Theorem isprm2 14225

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2

Distinct variable group:   ,P

Proof of Theorem isprm2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 14222	. . . . 5
2		eleq1 2529	. . . . . 6
3	2	biimpcd 224	. . . . 5
4	1, 3	mtoi 178	. . . 4
5	4	neqned 2660	. . 3
6	5	pm4.71i 632	. 2
7		isprm 14219	. . . 4
8		isprm2lem 14224	. . . . . . 7
9		eqss 3518	. . . . . . . . . . 11
10	9	imbi2i 312	. . . . . . . . . 10
11		1idssfct 14223	. . . . . . . . . . 11
12		jcab 863	. . . . . . . . . . 11
13	11, 12	mpbiran2 919	. . . . . . . . . 10
14	10, 13	bitri 249	. . . . . . . . 9
15	14	pm5.74ri 246	. . . . . . . 8
16	15	adantr 465	. . . . . . 7
17	8, 16	bitrd 253	. . . . . 6
18	17	expcom 435	. . . . 5
19	18	pm5.32d 639	. . . 4
20	7, 19	syl5bb 257	. . 3
21	20	pm5.32ri 638	. 2
22		ancom 450	. . . 4
23		anass 649	. . . 4
24	22, 23	bitr4i 252	. . 3
25		ancom 450	. . . . 5
26		eluz2b3 11184	. . . . 5
27	25, 26	bitr4i 252	. . . 4
28	27	anbi1i 695	. . 3
29		dfss2 3492	. . . . 5
30		breq1 4455	. . . . . . . . . 10
31	30	elrab 3257	. . . . . . . . 9
32		vex 3112	. . . . . . . . . 10
33	32	elpr 4047	. . . . . . . . 9
34	31, 33	imbi12i 326	. . . . . . . 8
35		impexp 446	. . . . . . . 8
36	34, 35	bitri 249	. . . . . . 7
37	36	albii 1640	. . . . . 6
38		df-ral 2812	. . . . . 6
39	37, 38	bitr4i 252	. . . . 5
40	29, 39	bitri 249	. . . 4
41	40	anbi2i 694	. . 3
42	24, 28, 41	3bitri 271	. 2
43	6, 21, 42	3bitri 271	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  {crab 2811  C_wss 3475  {cpr 4031   class class class wbr 4452  `cfv 5593  c2o 7143  cen 7533  1c1 9514  cn 10561  2c2 10610  cuz 11110  cdvds 13986  cprime 14217

This theorem is referenced by:  isprm3  14226  isprm4  14227  dvdsprime  14230  coprm  14241  isprm6  14250  prmirredlem  18523  prmirredlemOLD  18526  znidomb  18600  perfectlem2  23505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-dvds 13987  df-prm 14218