Theorem isum1p 13653

Description: The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isum1p.1
isum1p.3
isum1p.4
isum1p.5
isum1p.6

Assertion

Ref	Expression
isum1p

Distinct variable groups:   ,   ,M   ,   ,

Proof of Theorem isum1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isum1p.1	. . 3
2		eqid 2457	. . 3
3		isum1p.3	. . . . . 6
4		uzid 11124	. . . . . 6
5	3, 4	syl 16	. . . . 5
6		peano2uz 11163	. . . . 5
7	5, 6	syl 16	. . . 4
8	7, 1	syl6eleqr 2556	. . 3
9		isum1p.4	. . 3
10		isum1p.5	. . 3
11		isum1p.6	. . 3
12	1, 2, 8, 9, 10, 11	isumsplit 13652	. 2
13	3	zcnd 10995	. . . . . . 7
14		ax-1cn 9571	. . . . . . 7
15		pncan 9849	. . . . . . 7
16	13, 14, 15	sylancl 662	. . . . . 6
17	16	oveq2d 6312	. . . . 5
18	17	sumeq1d 13523	. . . 4
19		elfzuz 11713	. . . . . . 7
20	19, 1	syl6eleqr 2556	. . . . . 6
21	20, 9	sylan2 474	. . . . 5
22	21	sumeq2dv 13525	. . . 4
23	5, 1	syl6eleqr 2556	. . . . . 6
24	9, 10	eqeltrd 2545	. . . . . . 7
25	24	ralrimiva 2871	. . . . . 6
26		fveq2 5871	. . . . . . . 8
27	26	eleq1d 2526	. . . . . . 7
28	27	rspcv 3206	. . . . . 6
29	23, 25, 28	sylc 60	. . . . 5
30	26	fsum1 13564	. . . . 5
31	3, 29, 30	syl2anc 661	. . . 4
32	18, 22, 31	3eqtr2d 2504	. . 3
33	32	oveq1d 6311	. 2
34	12, 33	eqtrd 2498	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  1c1 9514  caddc 9516  cmin 9828  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cli 13307  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  isumnn0nn  13654  efsep  13845  rpnnen2lem9  13956  binomcxplemnotnn0  31261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509