Theorem isumltss 13660

Description: A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumltss.1
isumltss.2
isumltss.3
isumltss.4
isumltss.5
isumltss.6
isumltss.7

Assertion

Ref	Expression
isumltss

Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,   ,

Proof of Theorem isumltss

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumltss.2	. . . . 5
2		isumltss.1	. . . . . 6
3	2	uzinf 12076	. . . . 5
4	1, 3	syl 16	. . . 4
5		ssdif0 3885	. . . . 5
6		isumltss.4	. . . . . 6
7		eqss 3518	. . . . . . 7
8		isumltss.3	. . . . . . . 8
9		eleq1 2529	. . . . . . . 8
10	8, 9	syl5ibcom 220	. . . . . . 7
11	7, 10	syl5bir 218	. . . . . 6
12	6, 11	mpand 675	. . . . 5
13	5, 12	syl5bir 218	. . . 4
14	4, 13	mtod 177	. . 3
15		neq0 3795	. . 3
16	14, 15	sylib 196	. 2
17	8	adantr 465	. . . 4
18	6	adantr 465	. . . . . 6
19	18	sselda 3503	. . . . 5
20		isumltss.6	. . . . . . 7
21	20	adantlr 714	. . . . . 6
22	21	rpred 11285	. . . . 5
23	19, 22	syldan 470	. . . 4
24	17, 23	fsumrecl 13556	. . 3
25		snfi 7616	. . . . 5
26		unfi 7807	. . . . 5
27	17, 25, 26	sylancl 662	. . . 4
28		eldifi 3625	. . . . . . . . 9
29	28	snssd 4175	. . . . . . . 8
30	6, 29	anim12i 566	. . . . . . 7
31		unss 3677	. . . . . . 7
32	30, 31	sylib 196	. . . . . 6
33	32	sselda 3503	. . . . 5
34	33, 22	syldan 470	. . . 4
35	27, 34	fsumrecl 13556	. . 3
36	1	adantr 465	. . . 4
37		isumltss.5	. . . . 5
38	37	adantlr 714	. . . 4
39		isumltss.7	. . . . 5
40	39	adantr 465	. . . 4
41	2, 36, 38, 22, 40	isumrecl 13580	. . 3
42	25	a1i 11	. . . . . 6
43		vex 3112	. . . . . . . 8
44	43	snnz 4148	. . . . . . 7
45	44	a1i 11	. . . . . 6
46	29	adantl 466	. . . . . . . 8
47	46	sselda 3503	. . . . . . 7
48	47, 21	syldan 470	. . . . . 6
49	42, 45, 48	fsumrpcl 13559	. . . . 5
50	24, 49	ltaddrpd 11314	. . . 4
51		eldifn 3626	. . . . . . 7
52	51	adantl 466	. . . . . 6
53		disjsn 4090	. . . . . 6
54	52, 53	sylibr 212	. . . . 5
55		eqidd 2458	. . . . 5
56	21	rpcnd 11287	. . . . . 6
57	33, 56	syldan 470	. . . . 5
58	54, 55, 27, 57	fsumsplit 13562	. . . 4
59	50, 58	breqtrrd 4478	. . 3
60	21	rpge0d 11289	. . . 4
61	2, 36, 27, 32, 38, 22, 60, 40	isumless 13657	. . 3
62	24, 35, 41, 59, 61	ltletrd 9763	. 2
63	16, 62	exlimddv 1726	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cfn 7536  cc 9511  cr 9512  caddc 9516  clt 9649  cz 10889  cuz 11110  crp 11249  seqcseq 12107  cli 13307  sum_csu 13508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509