Theorem isummulc2 13577

Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumcl.1
isumcl.2
isumcl.3
isumcl.4
isumcl.5
summulc.6

Assertion

Ref	Expression
isummulc2

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,M

Proof of Theorem isummulc2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumfc 13531	. 2
2		isumcl.1	. . 3
3		isumcl.2	. . 3
4		eqidd 2458	. . 3
5		summulc.6	. . . . . . 7
6	5	adantr 465	. . . . . 6
7		isumcl.4	. . . . . 6
8	6, 7	mulcld 9637	. . . . 5
9		eqid 2457	. . . . 5
10	8, 9	fmptd 6055	. . . 4
11	10	ffvelrnda 6031	. . 3
12		isumcl.3	. . . . 5
13		isumcl.5	. . . . 5
14	2, 3, 12, 7, 13	isumclim2 13573	. . . 4
15	12, 7	eqeltrd 2545	. . . . . 6
16	15	ralrimiva 2871	. . . . 5
17		fveq2 5871	. . . . . . 7
18	17	eleq1d 2526	. . . . . 6
19	18	rspccva 3209	. . . . 5
20	16, 19	sylan 471	. . . 4
21		simpr 461	. . . . . . . 8
22		ovex 6324	. . . . . . . 8
23	9	fvmpt2 5963	. . . . . . . 8
24	21, 22, 23	sylancl 662	. . . . . . 7
25	12	oveq2d 6312	. . . . . . 7
26	24, 25	eqtr4d 2501	. . . . . 6
27	26	ralrimiva 2871	. . . . 5
28		nffvmpt1 5879	. . . . . . 7
29	28	nfeq1 2634	. . . . . 6
30		fveq2 5871	. . . . . . 7
31	17	oveq2d 6312	. . . . . . 7
32	30, 31	eqeq12d 2479	. . . . . 6
33	29, 32	rspc 3204	. . . . 5
34	27, 33	mpan9 469	. . . 4
35	2, 3, 5, 14, 20, 34	isermulc2 13480	. . 3
36	2, 3, 4, 11, 35	isumclim 13572	. 2
37	1, 36	syl5reqr 2513	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  e.cmpt 4510  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  caddc 9516  cmul 9518  cz 10889  cuz 11110  seqcseq 12107  cli 13307  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  isummulc1  13578  trirecip  13674  geoisum1c  13689  binomcxplemnotnn0  31261  isumneg  31608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509