Theorem itunisuc 8820

Description: Successor iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ituni.u

Assertion

Ref	Expression
itunisuc

Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem itunisuc

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuc 7121	. . . . . 6
2		fvex 5881	. . . . . . 7
3		unieq 4257	. . . . . . . 8
4		unieq 4257	. . . . . . . . 9
5	4	cbvmptv 4543	. . . . . . . 8
6	2	uniex 6596	. . . . . . . 8
7	3, 5, 6	fvmpt 5956	. . . . . . 7
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . 6
9	1, 8	syl6eq 2514	. . . . 5
10	9	adantl 466	. . . 4
11		ituni.u	. . . . . . 7
12	11	itunifval 8817	. . . . . 6
13	12	fveq1d 5873	. . . . 5
14	13	adantr 465	. . . 4
15	12	fveq1d 5873	. . . . . 6
16	15	adantr 465	. . . . 5
17	16	unieqd 4259	. . . 4
18	10, 14, 17	3eqtr4d 2508	. . 3
19		uni0 4276	. . . . 5
20	19	eqcomi 2470	. . . 4
21	11	itunifn 8818	. . . . . . . . . 10
22		fndm 5685	. . . . . . . . . 10
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . 9
24	23	eleq2d 2527	. . . . . . . 8
25		peano2b 6716	. . . . . . . 8
26	24, 25	syl6bbr 263	. . . . . . 7
27	26	notbid 294	. . . . . 6
28	27	biimpar 485	. . . . 5
29		ndmfv 5895	. . . . 5
30	28, 29	syl 16	. . . 4
31	23	eleq2d 2527	. . . . . . . 8
32	31	notbid 294	. . . . . . 7
33	32	biimpar 485	. . . . . 6
34		ndmfv 5895	. . . . . 6
35	33, 34	syl 16	. . . . 5
36	35	unieqd 4259	. . . 4
37	20, 30, 36	3eqtr4a 2524	. . 3
38	18, 37	pm2.61dan 791	. 2
39		0fv 5904	. . . . 5
40	39	unieqi 4258	. . . 4
41		0fv 5904	. . . 4
42	19, 40, 41	3eqtr4ri 2497	. . 3
43		fvprc 5865	. . . 4
44	43	fveq1d 5873	. . 3
45	43	fveq1d 5873	. . . 4
46	45	unieqd 4259	. . 3
47	42, 44, 46	3eqtr4a 2524	. 2
48	38, 47	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  c0 3784  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  succsuc 4885  domcdm 5004  |`cres 5006  Fnwfn 5588  `cfv 5593  com 6700  reccrdg 7094

This theorem is referenced by:  itunitc1  8821  itunitc  8822  ituniiun  8823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095