Theorem iunctb 8970

Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 8971). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunctb

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem iunctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . 3
2		simpl 457	. . . 4
3		reldom 7542	. . . . . . . 8
4	3	brrelexi 5045	. . . . . . 7
5	4	adantr 465	. . . . . 6
6		ovex 6324	. . . . . . 7
7	6	rgenw 2818	. . . . . 6
8		iunexg 6776	. . . . . 6
9	5, 7, 8	sylancl 662	. . . . 5
10		acncc 8841	. . . . 5
11	9, 10	syl6eleqr 2556	. . . 4
12		acndom 8453	. . . 4
13	2, 11, 12	sylc 60	. . 3
14		simpr 461	. . 3
15		omex 8081	. . . . . 6
16		xpdom1g 7634	. . . . . 6
17	15, 2, 16	sylancr 663	. . . . 5
18		xpomen 8414	. . . . 5
19		domentr 7594	. . . . 5
20	17, 18, 19	sylancl 662	. . . 4
21	3	brrelexi 5045	. . . . . . 7
22	21	ralimi 2850	. . . . . 6
23		iunexg 6776	. . . . . 6
24	4, 22, 23	syl2an 477	. . . . 5
25		omelon 8084	. . . . . 6
26		onenon 8351	. . . . . 6
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5
28		numacn 8451	. . . . 5
29	24, 27, 28	mpisyl 18	. . . 4
30		acndom2 8456	. . . 4
31	20, 29, 30	sylc 60	. . 3
32	1, 13, 14, 31	iundomg 8937	. 2
33		domtr 7588	. 2
34	32, 20, 33	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  {csn 4029  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  (class class class)co 6296  com 6700  cmap 7439  cen 7533  cdom 7534  ccrd 8337  AC_wacn 8340

This theorem is referenced by:  unictb  8971  heiborlem3  30309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cc 8836

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-acn 8344