Theorem iundomg 8937

Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union, with explicit choice principles. depends on and should be thought of as (x). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunfo.1
iundomg.2
iundomg.3
iundomg.4

Assertion

Ref	Expression
iundomg

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem iundomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunfo.1	. . . . 5
2		iundomg.2	. . . . 5
3		iundomg.3	. . . . 5
4	1, 2, 3	iundom2g 8936	. . . 4
5		iundomg.4	. . . 4
6		acndom2 8456	. . . 4
7	4, 5, 6	sylc 60	. . 3
8	1	iunfo 8935	. . 3
9		fodomacn 8458	. . 3
10	7, 8, 9	mpisyl 18	. 2
11		domtr 7588	. 2
12	10, 4, 11	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {csn 4029  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  |`cres 5006  -onto->wfo 5591  (class class class)co 6296  c2nd 6799  cmap 7439  cdom 7534  AC_wacn 8340

This theorem is referenced by:  iundom  8938  iunctb  8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441  df-dom 7538  df-acn 8344