Theorem iunfo 8935

Description: Existence of an onto function from a disjoint union to a union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunfo.1

Assertion

Ref	Expression
iunfo

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem iunfo

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fo2nd 6821	. . . 4
2		fof 5800	. . . 4
3		ffn 5736	. . . 4
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3
5		ssv 3523	. . 3
6		fnssres 5699	. . 3
7	4, 5, 6	mp2an 672	. 2
8		df-ima 5017	. . 3
9		iunfo.1	. . . . . . . . . . 11
10	9	eleq2i 2535	. . . . . . . . . 10
11		eliun 4335	. . . . . . . . . 10
12	10, 11	bitri 249	. . . . . . . . 9
13		xp2nd 6831	. . . . . . . . . . 11
14		eleq1 2529	. . . . . . . . . . 11
15	13, 14	syl5ib 219	. . . . . . . . . 10
16	15	reximdv 2931	. . . . . . . . 9
17	12, 16	syl5bi 217	. . . . . . . 8
18	17	impcom 430	. . . . . . 7
19	18	rexlimiva 2945	. . . . . 6
20		nfiu1 4360	. . . . . . . . 9
21	9, 20	nfcxfr 2617	. . . . . . . 8
22		nfv 1707	. . . . . . . 8
23	21, 22	nfrex 2920	. . . . . . 7
24		ssiun2 4373	. . . . . . . . . . . 12
25	24	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
26		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
27		ssnid 4058	. . . . . . . . . . . . 13
28		opelxp 5034	. . . . . . . . . . . . 13
29	27, 28	mpbiran 918	. . . . . . . . . . . 12
30	26, 29	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11
31	25, 30	sseldd 3504	. . . . . . . . . 10
32	31, 9	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . 9
33		vex 3112	. . . . . . . . . 10
34		vex 3112	. . . . . . . . . 10
35	33, 34	op2nd 6809	. . . . . . . . 9
36		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
37	36	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . 10
38	37	rspcev 3210	. . . . . . . . 9
39	32, 35, 38	sylancl 662	. . . . . . . 8
40	39	ex 434	. . . . . . 7
41	23, 40	rexlimi 2939	. . . . . 6
42	19, 41	impbii 188	. . . . 5
43		fvelimab 5929	. . . . . 6
44	4, 5, 43	mp2an 672	. . . . 5
45		eliun 4335	. . . . 5
46	42, 44, 45	3bitr4i 277	. . . 4
47	46	eqriv 2453	. . 3
48	8, 47	eqtr3i 2488	. 2
49		df-fo 5599	. 2
50	7, 48, 49	mpbir2an 920	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330  X.cxp 5002  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  `cfv 5593  c2nd 6799

This theorem is referenced by:  iundomg  8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fo 5599  df-fv 5601  df-2nd 6801