Theorem ixxin 11575

Description: Intersection of two intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixx.1
ixxin.2
ixxin.3

Assertion

Ref	Expression
ixxin

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,S,,

Proof of Theorem ixxin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 3769	. . 3
2		ixx.1	. . . . 5
3	2	ixxval 11566	. . . 4
4	2	ixxval 11566	. . . 4
5	3, 4	ineqan12d 3701	. . 3
6		ixxin.2	. . . . . . . . 9
7	6	3expa 1196	. . . . . . . 8
8	7	adantlr 714	. . . . . . 7
9		ixxin.3	. . . . . . . . . 10
10	9	3expb 1197	. . . . . . . . 9
11	10	ancoms 453	. . . . . . . 8
12	11	adantll 713	. . . . . . 7
13	8, 12	anbi12d 710	. . . . . 6
14		an4 824	. . . . . 6
15	13, 14	syl6bbr 263	. . . . 5
16	15	rabbidva 3100	. . . 4
17	16	an4s 826	. . 3
18	1, 5, 17	3eqtr4a 2524	. 2
19		ifcl 3983	. . . . 5
20	19	ancoms 453	. . . 4
21		ifcl 3983	. . . 4
22	2	ixxval 11566	. . . 4
23	20, 21, 22	syl2an 477	. . 3
24	23	an4s 826	. 2
25	18, 24	eqtr4d 2501	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  i^icin 3474  ifcif 3941   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  cxr 9648  cle 9650

This theorem is referenced by:  iooin  11592  itgspliticc  22243  cvmliftlem10  28739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-xr 9653