Theorem ixxlb 11580

Description: Extract the lower bound of an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixx.1
ixxub.2
ixxub.3
ixxub.4
ixxub.5

Assertion

Ref	Expression
ixxlb

Distinct variable groups:   ,,,,   ,O   ,,,,   ,,,   ,S,,

Proof of Theorem ixxlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 757	. . . . . 6
2		ixx.1	. . . . . . . . . . . . . . 15
3	2	elixx1 11567	. . . . . . . . . . . . . 14
4	3	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . 13
5	4	biimpa 484	. . . . . . . . . . . 12
6	5	simp1d 1008	. . . . . . . . . . 11
7	6	ex 434	. . . . . . . . . 10
8	7	ssrdv 3509	. . . . . . . . 9
9	8	ad2antrr 725	. . . . . . . 8
10		qre 11216	. . . . . . . . . . 11
11	10	rexrd 9664	. . . . . . . . . 10
12	11	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9
13		simprl 756	. . . . . . . . . 10
14		simp1 996	. . . . . . . . . . . 12
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
16		ixxub.4	. . . . . . . . . . 11
17	15, 12, 16	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
18	13, 17	mpd 15	. . . . . . . . 9
19		infmxrcl 11537	. . . . . . . . . . . . 13
20	8, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
21	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
22		simpll2 1036	. . . . . . . . . . 11
23		simp3 998	. . . . . . . . . . . . . 14
24		n0 3794	. . . . . . . . . . . . . 14
25	23, 24	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
26	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
27		simpl2 1000	. . . . . . . . . . . . . 14
28		infmxrlb 11554	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	8, 28	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14
30	5	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		ixxub.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	6, 27, 31	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	30, 32	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14
34	26, 6, 27, 29, 33	xrletrd 11394	. . . . . . . . . . . . 13
35	25, 34	exlimddv 1726	. . . . . . . . . . . 12
36	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
37	12, 21, 22, 1, 36	xrltletrd 11393	. . . . . . . . . 10
38		ixxub.2	. . . . . . . . . . 11
39	12, 22, 38	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
40	37, 39	mpd 15	. . . . . . . . 9
41	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9
42	12, 18, 40, 41	mpbir3and 1179	. . . . . . . 8
43	9, 42, 28	syl2anc 661	. . . . . . 7
44		xrlenlt 9673	. . . . . . . 8
45	21, 12, 44	syl2anc 661	. . . . . . 7
46	43, 45	mpbid 210	. . . . . 6
47	1, 46	pm2.65da 576	. . . . 5
48	47	nrexdv 2913	. . . 4
49		qbtwnxr 11428	. . . . . 6
50	49	3expia 1198	. . . . 5
51	14, 20, 50	syl2anc 661	. . . 4
52	48, 51	mtod 177	. . 3
53		xrlenlt 9673	. . . 4
54	20, 14, 53	syl2anc 661	. . 3
55	52, 54	mpbird 232	. 2
56	5	simp2d 1009	. . . . 5
57	14	adantr 465	. . . . . 6
58		ixxub.5	. . . . . 6
59	57, 6, 58	syl2anc 661	. . . . 5
60	56, 59	mpd 15	. . . 4
61	60	ralrimiva 2871	. . 3
62		infmxrgelb 11555	. . . 4
63	8, 14, 62	syl2anc 661	. . 3
64	61, 63	mpbird 232	. 2
65		xrletri3 11387	. . 3
66	20, 14, 65	syl2anc 661	. 2
67	55, 64, 66	mpbir2and 922	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  supcsup 7920  cxr 9648  clt 9649  cle 9650  cq 11211

This theorem is referenced by:  ioorf  21982  ioorinv2  21984  ioossioobi  31557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212