Theorem ixxun 11574

Description: Split an interval into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixx.1
ixxun.2
ixxun.3
ixxun.4
ixxun.5
ixxun.6

Assertion

Ref	Expression
ixxun

Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,O   ,Q   ,,,,   ,P   ,,,   ,S,,   ,,,   ,,,   ,   ,

Proof of Theorem ixxun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3644	. . 3
2		simpl1 999	. . . . . . . . . 10
3		simpl2 1000	. . . . . . . . . 10
4		ixx.1	. . . . . . . . . . 11
5	4	elixx1 11567	. . . . . . . . . 10
6	2, 3, 5	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
7	6	biimpa 484	. . . . . . . 8
8	7	simp1d 1008	. . . . . . 7
9	7	simp2d 1009	. . . . . . 7
10	7	simp3d 1010	. . . . . . . 8
11		simplrr 762	. . . . . . . 8
12	3	adantr 465	. . . . . . . . 9
13		simpl3 1001	. . . . . . . . . 10
14	13	adantr 465	. . . . . . . . 9
15		ixxun.5	. . . . . . . . 9
16	8, 12, 14, 15	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
17	10, 11, 16	mp2and 679	. . . . . . 7
18	8, 9, 17	3jca 1176	. . . . . 6
19		ixxun.2	. . . . . . . . . . 11
20	19	elixx1 11567	. . . . . . . . . 10
21	3, 13, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
22	21	biimpa 484	. . . . . . . 8
23	22	simp1d 1008	. . . . . . 7
24		simplrl 761	. . . . . . . 8
25	22	simp2d 1009	. . . . . . . 8
26	2	adantr 465	. . . . . . . . 9
27	3	adantr 465	. . . . . . . . 9
28		ixxun.6	. . . . . . . . 9
29	26, 27, 23, 28	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
30	24, 25, 29	mp2and 679	. . . . . . 7
31	22	simp3d 1010	. . . . . . 7
32	23, 30, 31	3jca 1176	. . . . . 6
33	18, 32	jaodan 785	. . . . 5
34		ixxun.4	. . . . . . . 8
35	34	elixx1 11567	. . . . . . 7
36	2, 13, 35	syl2anc 661	. . . . . 6
37	36	biimpar 485	. . . . 5
38	33, 37	syldan 470	. . . 4
39		exmid 415	. . . . 5
40		df-3an 975	. . . . . . . . 9
41	6, 40	syl6bb 261	. . . . . . . 8
42	41	adantr 465	. . . . . . 7
43	36	biimpa 484	. . . . . . . . . 10
44	43	simp1d 1008	. . . . . . . . 9
45	43	simp2d 1009	. . . . . . . . 9
46	44, 45	jca 532	. . . . . . . 8
47	46	biantrurd 508	. . . . . . 7
48	42, 47	bitr4d 256	. . . . . 6
49		3anan12 986	. . . . . . . . 9
50	21, 49	syl6bb 261	. . . . . . . 8
51	50	adantr 465	. . . . . . 7
52	43	simp3d 1010	. . . . . . . . 9
53	44, 52	jca 532	. . . . . . . 8
54	53	biantrud 507	. . . . . . 7
55	3	adantr 465	. . . . . . . 8
56		ixxun.3	. . . . . . . 8
57	55, 44, 56	syl2anc 661	. . . . . . 7
58	51, 54, 57	3bitr2d 281	. . . . . 6
59	48, 58	orbi12d 709	. . . . 5
60	39, 59	mpbiri 233	. . . 4
61	38, 60	impbida 832	. . 3
62	1, 61	syl5bb 257	. 2
63	62	eqrdv 2454	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  u.cun 3473   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  cxr 9648

This theorem is referenced by:  icoun  11673  snunioo  11675  snunico  11676  snunioc  11677  ioojoin  11680  leordtval2  19713  lecldbas  19720  icopnfcld  21275  iocmnfcld  21276  ioombl  21975  ismbf3d  22061  joiniooico  27585  asindmre  30102  ioounsn  31177  snunioo2  31544  snunioo1  31552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-xr 9653