Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-mpo |
|- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } |
2 |
|
df-oprab |
|- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) ) } |
3 |
1 2
|
eqtri |
|- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) ) } |
4 |
|
nel02 |
|- ( A = (/) -> -. x e. A ) |
5 |
|
nel02 |
|- ( B = (/) -> -. y e. B ) |
6 |
4 5
|
orim12i |
|- ( ( A = (/) \/ B = (/) ) -> ( -. x e. A \/ -. y e. B ) ) |
7 |
|
ianor |
|- ( -. ( x e. A /\ y e. B ) <-> ( -. x e. A \/ -. y e. B ) ) |
8 |
6 7
|
sylibr |
|- ( ( A = (/) \/ B = (/) ) -> -. ( x e. A /\ y e. B ) ) |
9 |
|
simprl |
|- ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) ) -> ( x e. A /\ y e. B ) ) |
10 |
8 9
|
nsyl |
|- ( ( A = (/) \/ B = (/) ) -> -. ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) ) ) |
11 |
10
|
nexdv |
|- ( ( A = (/) \/ B = (/) ) -> -. E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) ) ) |
12 |
11
|
nexdv |
|- ( ( A = (/) \/ B = (/) ) -> -. E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) ) ) |
13 |
12
|
nexdv |
|- ( ( A = (/) \/ B = (/) ) -> -. E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) ) ) |
14 |
13
|
alrimiv |
|- ( ( A = (/) \/ B = (/) ) -> A. w -. E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) ) ) |
15 |
|
ab0 |
|- ( { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) ) } = (/) <-> A. w -. E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) ) ) |
16 |
14 15
|
sylibr |
|- ( ( A = (/) \/ B = (/) ) -> { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) ) } = (/) ) |
17 |
3 16
|
syl5eq |
|- ( ( A = (/) \/ B = (/) ) -> ( x e. A , y e. B |-> C ) = (/) ) |