Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
1sdom2dom |
|- ( 1o ~< A <-> 2o ~<_ A ) |
2 |
|
2dom |
|- ( 2o ~<_ A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y ) |
3 |
|
df-ne |
|- ( x =/= y <-> -. x = y ) |
4 |
3
|
2rexbii |
|- ( E. x e. A E. y e. A x =/= y <-> E. x e. A E. y e. A -. x = y ) |
5 |
|
rex2dom |
|- ( ( A e. V /\ E. x e. A E. y e. A x =/= y ) -> 2o ~<_ A ) |
6 |
4 5
|
sylan2br |
|- ( ( A e. V /\ E. x e. A E. y e. A -. x = y ) -> 2o ~<_ A ) |
7 |
6
|
ex |
|- ( A e. V -> ( E. x e. A E. y e. A -. x = y -> 2o ~<_ A ) ) |
8 |
2 7
|
impbid2 |
|- ( A e. V -> ( 2o ~<_ A <-> E. x e. A E. y e. A -. x = y ) ) |
9 |
1 8
|
bitrid |
|- ( A e. V -> ( 1o ~< A <-> E. x e. A E. y e. A -. x = y ) ) |