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Theorem 2llnm2N

Description: The meet of two different lattice lines in a lattice plane is an atom. (Contributed by NM, 5-Jul-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses 2llnm2.l 
|- .<_ = ( le ` K )
2llnm2.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
2llnm2.a 
|- A = ( Atoms ` K )
2llnm2.n 
|- N = ( LLines ` K )
2llnm2.p 
|- P = ( LPlanes ` K )
Assertion 2llnm2N 
|- ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> ( X ./\ Y ) e. A )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2llnm2.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 2llnm2.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
3 2llnm2.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 2llnm2.n 
 |-  N = ( LLines ` K )
5 2llnm2.p 
 |-  P = ( LPlanes ` K )
6 simp22 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> Y e. N )
7 simp1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> K e. HL )
8 hllat 
 |-  ( K e. HL -> K e. Lat )
9 8 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> K e. Lat )
10 simp21 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> X e. N )
11 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
12 11 4 llnbase 
 |-  ( X e. N -> X e. ( Base ` K ) )
13 10 12 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> X e. ( Base ` K ) )
14 11 4 llnbase 
 |-  ( Y e. N -> Y e. ( Base ` K ) )
15 6 14 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
16 11 2 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
17 9 13 15 16 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
18 eqid 
 |-  ( join ` K ) = ( join ` K )
19 1 18 4 5 2llnjN 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> ( X ( join ` K ) Y ) = W )
20 simp23 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> W e. P )
21 19 20 eqeltrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> ( X ( join ` K ) Y ) e. P )
22 11 1 18 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> X .<_ ( X ( join ` K ) Y ) )
23 9 13 15 22 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> X .<_ ( X ( join ` K ) Y ) )
24 eqid 
 |-  (
25 1 24 4 5 llncvrlpln2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ ( X ( join ` K ) Y ) e. P ) /\ X .<_ ( X ( join ` K ) Y ) ) -> X (
26 7 10 21 23 25 syl31anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> X (
27 11 18 2 24 cvrexch 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( X ./\ Y ) (  X (
28 7 13 15 27 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> ( ( X ./\ Y ) (  X (
29 26 28 mpbird 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> ( X ./\ Y ) (
30 11 24 3 4 atcvrlln 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) /\ ( X ./\ Y ) (  ( ( X ./\ Y ) e. A <-> Y e. N ) )
31 7 17 15 29 30 syl31anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> ( ( X ./\ Y ) e. A <-> Y e. N ) )
32 6 31 mpbird 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. N /\ Y e. N /\ W e. P ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W /\ X =/= Y ) ) -> ( X ./\ Y ) e. A )