Theorem 2reu2

Description: Double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu2 . (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2017)

	Ref	Expression
Assertion	2reu2	|- ( E! y e. B E. x e. A ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph <-> E! x e. A E. y e. B ph ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reurmo	|- ( E! y e. B E. x e. A ph -> E* y e. B E. x e. A ph )
2		2rmorex	|- ( E* y e. B E. x e. A ph -> A. x e. A E* y e. B ph )
3		2reu1	|- ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph <-> ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) ) )
4		simpl	|- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) -> E! x e. A E. y e. B ph )
5	3 4	biimtrdi	|- ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph -> E! x e. A E. y e. B ph ) )
6	1 2 5	3syl	|- ( E! y e. B E. x e. A ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph -> E! x e. A E. y e. B ph ) )
7		2rexreu	|- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) -> E! x e. A E! y e. B ph )
8	7	expcom	|- ( E! y e. B E. x e. A ph -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! x e. A E! y e. B ph ) )
9	6 8	impbid	|- ( E! y e. B E. x e. A ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph <-> E! x e. A E. y e. B ph ) )