Theorem 2reu5lem1

Description: Lemma for 2reu5 . Note that E! x e. A E! y e. B ph does not mean "there is exactly one x in A and exactly one y in B such that ph holds"; see comment for 2eu5 . (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017)

	Ref	Expression
Assertion	2reu5lem1	|- ( E! x e. A E! y e. B ph <-> E! x E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-reu	|- ( E! y e. B ph <-> E! y ( y e. B /\ ph ) )
2	1	reubii	|- ( E! x e. A E! y e. B ph <-> E! x e. A E! y ( y e. B /\ ph ) )
3		df-reu	|- ( E! x e. A E! y ( y e. B /\ ph ) <-> E! x ( x e. A /\ E! y ( y e. B /\ ph ) ) )
4		euanv	|- ( E! y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E! y ( y e. B /\ ph ) ) )
5	4	bicomi	|- ( ( x e. A /\ E! y ( y e. B /\ ph ) ) <-> E! y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
6		3anass	|- ( ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
7	6	bicomi	|- ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
8	7	eubii	|- ( E! y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
9	5 8	bitri	|- ( ( x e. A /\ E! y ( y e. B /\ ph ) ) <-> E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
10	9	eubii	|- ( E! x ( x e. A /\ E! y ( y e. B /\ ph ) ) <-> E! x E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
11	3 10	bitri	|- ( E! x e. A E! y ( y e. B /\ ph ) <-> E! x E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )
12	2 11	bitri	|- ( E! x e. A E! y e. B ph <-> E! x E! y ( x e. A /\ y e. B /\ ph ) )