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Theorem 3reeanv

Description: Rearrange three restricted existential quantifiers. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010)

Ref Expression
Assertion 3reeanv 
|- ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps /\ E. z e. C ch ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 r19.41v 
 |-  ( E. x e. A ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) )
2 reeanv 
 |-  ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) )
3 1 2 bianbi 
 |-  ( E. x e. A ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) <-> ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) /\ E. z e. C ch ) )
4 df-3an 
 |-  ( ( ph /\ ps /\ ch ) <-> ( ( ph /\ ps ) /\ ch ) )
5 4 2rexbii 
 |-  ( E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> E. y e. B E. z e. C ( ( ph /\ ps ) /\ ch ) )
6 reeanv 
 |-  ( E. y e. B E. z e. C ( ( ph /\ ps ) /\ ch ) <-> ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) )
7 5 6 bitri 
 |-  ( E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) )
8 7 rexbii 
 |-  ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> E. x e. A ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) )
9 df-3an 
 |-  ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps /\ E. z e. C ch ) <-> ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) /\ E. z e. C ch ) )
10 3 8 9 3bitr4i 
 |-  ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps /\ E. z e. C ch ) )