Metamath Proof Explorer

Theorem 4atlem3a

Description: Lemma for 4at . Break inequality into 3 cases. (Contributed by NM, 9-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses 4at.l 
|- .<_ = ( le ` K )
4at.j 
|- .\/ = ( join ` K )
4at.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion 4atlem3a 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. R .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 4at.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 4at.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 4at.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) )
5 simpl2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> R e. A )
6 simpl2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> S e. A )
7 simpl12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> P e. A )
8 5 6 7 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( R e. A /\ S e. A /\ P e. A ) )
9 simpl3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( U e. A /\ V e. A ) )
10 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) )
11 1 2 3 4atlem3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ P e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( ( -. P .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) \/ ( -. R .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) ) )
12 4 8 9 10 11 syl31anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( ( -. P .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) \/ ( -. R .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) ) )
13 simpl11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> K e. HL )
14 13 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> K e. Lat )
15 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
16 15 3 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
17 7 16 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
18 simpl3l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> U e. A )
19 simpl3r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> V e. A )
20 15 2 3 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ U e. A /\ V e. A ) -> ( U .\/ V ) e. ( Base ` K ) )
21 13 18 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( U .\/ V ) e. ( Base ` K ) )
22 15 1 2 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. ( Base ` K ) /\ ( U .\/ V ) e. ( Base ` K ) ) -> P .<_ ( P .\/ ( U .\/ V ) ) )
23 14 17 21 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> P .<_ ( P .\/ ( U .\/ V ) ) )
24 15 3 atbase 
 |-  ( U e. A -> U e. ( Base ` K ) )
25 18 24 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> U e. ( Base ` K ) )
26 15 3 atbase 
 |-  ( V e. A -> V e. ( Base ` K ) )
27 19 26 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> V e. ( Base ` K ) )
28 15 2 latjass 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ U e. ( Base ` K ) /\ V e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( P .\/ U ) .\/ V ) = ( P .\/ ( U .\/ V ) ) )
29 14 17 25 27 28 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( ( P .\/ U ) .\/ V ) = ( P .\/ ( U .\/ V ) ) )
30 23 29 breqtrrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> P .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) )
31 biortn 
 |-  ( P .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) -> ( -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) <-> ( -. P .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) ) )
32 30 31 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) <-> ( -. P .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) ) )
33 32 orbi1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( ( -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ ( -. R .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) ) <-> ( ( -. P .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) \/ ( -. R .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) ) ) )
34 12 33 mpbird 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ ( -. R .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) ) )
35 3orass 
 |-  ( ( -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. R .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) <-> ( -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ ( -. R .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) ) )
36 34 35 sylibr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( U e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( -. Q .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. R .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ U ) .\/ V ) ) )