Metamath Proof Explorer

Theorem 4atlem3b

Description: Lemma for 4at . Break inequality into 2 cases. (Contributed by NM, 9-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses 4at.l 
|- .<_ = ( le ` K )
4at.j 
|- .\/ = ( join ` K )
4at.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion 4atlem3b 
|- ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( -. R .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 4at.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 4at.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 4at.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) )
5 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> R e. A )
6 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> S e. A )
7 5 6 jca 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( R e. A /\ S e. A ) )
8 simp13 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> Q e. A )
9 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> V e. A )
10 8 9 jca 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( Q e. A /\ V e. A ) )
11 simp3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) )
12 1 2 3 4atlem3a 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) /\ ( Q e. A /\ V e. A ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( -. Q .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. R .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) ) )
13 4 7 10 11 12 syl31anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( -. Q .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. R .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) ) )
14 3orass 
 |-  ( ( -. Q .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. R .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) ) <-> ( -. Q .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ ( -. R .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) ) ) )
15 13 14 sylib 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( -. Q .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ ( -. R .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) ) ) )
16 simp11 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> K e. HL )
17 16 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> K e. Lat )
18 simp12 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> P e. A )
19 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
20 19 2 3 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ V e. A ) -> ( P .\/ V ) e. ( Base ` K ) )
21 16 18 9 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( P .\/ V ) e. ( Base ` K ) )
22 19 3 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )
23 8 22 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
24 19 1 2 latlej2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ V ) e. ( Base ` K ) /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> Q .<_ ( ( P .\/ V ) .\/ Q ) )
25 17 21 23 24 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> Q .<_ ( ( P .\/ V ) .\/ Q ) )
26 2 3 hlatj32 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ V e. A /\ Q e. A ) ) -> ( ( P .\/ V ) .\/ Q ) = ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) )
27 16 18 9 8 26 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( ( P .\/ V ) .\/ Q ) = ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) )
28 25 27 breqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> Q .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) )
29 biortn 
 |-  ( Q .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) -> ( ( -. R .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) ) <-> ( -. Q .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ ( -. R .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) ) ) ) )
30 28 29 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( ( -. R .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) ) <-> ( -. Q .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ ( -. R .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) ) ) ) )
31 15 30 mpbird 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ V e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) ) -> ( -. R .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) \/ -. S .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ V ) ) )