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Theorem ablo4pnp

Description: A commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010)

Ref Expression
Hypotheses abl4pnp.1 
|- X = ran G
abl4pnp.2 
|- D = ( /g ` G )
Assertion ablo4pnp 
|- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D ( C G F ) ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 abl4pnp.1 
 |-  X = ran G
2 abl4pnp.2 
 |-  D = ( /g ` G )
3 df-3an 
 |-  ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ C e. X ) )
4 1 2 ablomuldiv 
 |-  ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
5 3 4 sylan2br 
 |-  ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ C e. X ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
6 5 adantrrr 
 |-  ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D C ) = ( ( A D C ) G B ) )
7 6 oveq1d 
 |-  ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( ( A D C ) G B ) D F ) )
8 ablogrpo 
 |-  ( G e. AbelOp -> G e. GrpOp )
9 1 grpocl 
 |-  ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )
10 9 3expib 
 |-  ( G e. GrpOp -> ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X ) )
11 8 10 syl 
 |-  ( G e. AbelOp -> ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X ) )
12 11 anim1d 
 |-  ( G e. AbelOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) )
13 3anass 
 |-  ( ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) <-> ( ( A G B ) e. X /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) )
14 12 13 imbitrrdi 
 |-  ( G e. AbelOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) ) )
15 14 imp 
 |-  ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) )
16 1 2 ablodivdiv4 
 |-  ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( A G B ) D ( C G F ) ) )
17 15 16 syldan 
 |-  ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) D C ) D F ) = ( ( A G B ) D ( C G F ) ) )
18 1 2 grpodivcl 
 |-  ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. X )
19 18 3expib 
 |-  ( G e. GrpOp -> ( ( A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. X ) )
20 19 anim1d 
 |-  ( G e. GrpOp -> ( ( ( A e. X /\ C e. X ) /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) ) )
21 an4 
 |-  ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) <-> ( ( A e. X /\ C e. X ) /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) )
22 3anass 
 |-  ( ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) <-> ( ( A D C ) e. X /\ ( B e. X /\ F e. X ) ) )
23 20 21 22 3imtr4g 
 |-  ( G e. GrpOp -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) ) )
24 23 imp 
 |-  ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) )
25 1 2 grpomuldivass 
 |-  ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A D C ) e. X /\ B e. X /\ F e. X ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
26 24 25 syldan 
 |-  ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
27 8 26 sylan 
 |-  ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( ( A D C ) G B ) D F ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )
28 7 17 27 3eqtr3d 
 |-  ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ F e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) D ( C G F ) ) = ( ( A D C ) G ( B D F ) ) )