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Theorem atmod2i1

Description: Version of modular law pmod2iN that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses atmod.b 
|- B = ( Base ` K )
atmod.l 
|- .<_ = ( le ` K )
atmod.j 
|- .\/ = ( join ` K )
atmod.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
atmod.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion atmod2i1 
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ P ) = ( X ./\ ( Y .\/ P ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 atmod.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 atmod.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 atmod.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 atmod.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 atmod.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 hllat 
 |-  ( K e. HL -> K e. Lat )
7 6 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> K e. Lat )
8 simp22 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> X e. B )
9 simp23 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> Y e. B )
10 1 4 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) = ( Y ./\ X ) )
11 7 8 9 10 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( X ./\ Y ) = ( Y ./\ X ) )
12 11 oveq2d 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( P .\/ ( Y ./\ X ) ) )
13 simp21 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> P e. A )
14 1 5 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. B )
15 13 14 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> P e. B )
16 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
17 7 8 9 16 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
18 1 3 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( X ./\ Y ) e. B ) -> ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ P ) )
19 7 15 17 18 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( P .\/ ( X ./\ Y ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ P ) )
20 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ Y e. B ) -> ( P .\/ Y ) e. B )
21 7 15 9 20 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( P .\/ Y ) e. B )
22 1 4 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( P .\/ Y ) ./\ X ) = ( X ./\ ( P .\/ Y ) ) )
23 7 21 8 22 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( ( P .\/ Y ) ./\ X ) = ( X ./\ ( P .\/ Y ) ) )
24 simp1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> K e. HL )
25 simp3 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> P .<_ X )
26 1 2 3 4 5 atmod1i1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( P .\/ ( Y ./\ X ) ) = ( ( P .\/ Y ) ./\ X ) )
27 24 13 9 8 25 26 syl131anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( P .\/ ( Y ./\ X ) ) = ( ( P .\/ Y ) ./\ X ) )
28 1 3 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ P e. B ) -> ( Y .\/ P ) = ( P .\/ Y ) )
29 7 9 15 28 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( Y .\/ P ) = ( P .\/ Y ) )
30 29 oveq2d 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( X ./\ ( Y .\/ P ) ) = ( X ./\ ( P .\/ Y ) ) )
31 23 27 30 3eqtr4d 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( P .\/ ( Y ./\ X ) ) = ( X ./\ ( Y .\/ P ) ) )
32 12 19 31 3eqtr3d 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ P .<_ X ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ P ) = ( X ./\ ( Y .\/ P ) ) )