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Theorem atmod4i2

Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 4-Jun-2012) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses atmod.b 
|- B = ( Base ` K )
atmod.l 
|- .<_ = ( le ` K )
atmod.j 
|- .\/ = ( join ` K )
atmod.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
atmod.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion atmod4i2 
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( P ./\ Y ) .\/ X ) = ( ( P .\/ X ) ./\ Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 atmod.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 atmod.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 atmod.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 atmod.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 atmod.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 hllat 
 |-  ( K e. HL -> K e. Lat )
7 6 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> K e. Lat )
8 simp21 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> P e. A )
9 1 5 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. B )
10 8 9 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> P e. B )
11 simp23 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> Y e. B )
12 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ Y e. B ) -> ( P ./\ Y ) e. B )
13 7 10 11 12 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( P ./\ Y ) e. B )
14 simp22 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> X e. B )
15 1 3 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P ./\ Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( P ./\ Y ) .\/ X ) = ( X .\/ ( P ./\ Y ) ) )
16 7 13 14 15 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( P ./\ Y ) .\/ X ) = ( X .\/ ( P ./\ Y ) ) )
17 1 2 3 4 5 atmod1i2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( X .\/ ( P ./\ Y ) ) = ( ( X .\/ P ) ./\ Y ) )
18 1 3 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ P e. B ) -> ( X .\/ P ) = ( P .\/ X ) )
19 7 14 10 18 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( X .\/ P ) = ( P .\/ X ) )
20 19 oveq1d 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( X .\/ P ) ./\ Y ) = ( ( P .\/ X ) ./\ Y ) )
21 16 17 20 3eqtrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( P ./\ Y ) .\/ X ) = ( ( P .\/ X ) ./\ Y ) )