Theorem avgle

Description: The average of two numbers is less than or equal to at least one of them. (Contributed by NM, 9-Dec-2005) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014)

	Ref	Expression
Assertion	avgle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ A \/ ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letric	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
2	1	orcomd	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A \/ A <_ B ) )
3		avgle2	|- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> ( ( B + A ) / 2 ) <_ A ) )
4	3	ancoms	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A <-> ( ( B + A ) / 2 ) <_ A ) )
5		recn	|- ( A e. RR -> A e. CC )
6		recn	|- ( B e. RR -> B e. CC )
7		addcom	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
8	5 6 7	syl2an	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
9	8	oveq1d	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) / 2 ) = ( ( B + A ) / 2 ) )
10	9	breq1d	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ A <-> ( ( B + A ) / 2 ) <_ A ) )
11	4 10	bitr4d	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A <-> ( ( A + B ) / 2 ) <_ A ) )
12		avgle2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )
13	11 12	orbi12d	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B <_ A \/ A <_ B ) <-> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ A \/ ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) ) )
14	2 13	mpbid	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ A \/ ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )