Metamath Proof Explorer

Theorem axgroth6

Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. This version is called Tarski's axiom: given a set x , there exists a set y containing x , the subsets of the members of y , the power sets of the members of y , and the subsets of y of cardinality less than that of y . (Contributed by NM, 21-Jun-2009)

Ref Expression
Assertion axgroth6 
|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 axgroth5 
 |-  E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )
2 biid 
 |-  ( x e. y <-> x e. y )
3 pweq 
 |-  ( z = v -> ~P z = ~P v )
4 3 sseq1d 
 |-  ( z = v -> ( ~P z C_ y <-> ~P v C_ y ) )
5 4 cbvralvw 
 |-  ( A. z e. y ~P z C_ y <-> A. v e. y ~P v C_ y )
6 ssid 
 |-  ~P z C_ ~P z
7 sseq2 
 |-  ( w = ~P z -> ( ~P z C_ w <-> ~P z C_ ~P z ) )
8 7 rspcev 
 |-  ( ( ~P z e. y /\ ~P z C_ ~P z ) -> E. w e. y ~P z C_ w )
9 6 8 mpan2 
 |-  ( ~P z e. y -> E. w e. y ~P z C_ w )
10 pweq 
 |-  ( v = w -> ~P v = ~P w )
11 10 sseq1d 
 |-  ( v = w -> ( ~P v C_ y <-> ~P w C_ y ) )
12 11 rspccv 
 |-  ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( w e. y -> ~P w C_ y ) )
13 pwss 
 |-  ( ~P w C_ y <-> A. v ( v C_ w -> v e. y ) )
14 vpwex 
 |-  ~P z e. _V
15 sseq1 
 |-  ( v = ~P z -> ( v C_ w <-> ~P z C_ w ) )
16 eleq1 
 |-  ( v = ~P z -> ( v e. y <-> ~P z e. y ) )
17 15 16 imbi12d 
 |-  ( v = ~P z -> ( ( v C_ w -> v e. y ) <-> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) )
18 14 17 spcv 
 |-  ( A. v ( v C_ w -> v e. y ) -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
19 13 18 sylbi 
 |-  ( ~P w C_ y -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
20 12 19 syl6 
 |-  ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( w e. y -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) )
21 20 rexlimdv 
 |-  ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( E. w e. y ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
22 9 21 impbid2 
 |-  ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( ~P z e. y <-> E. w e. y ~P z C_ w ) )
23 22 ralbidv 
 |-  ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( A. z e. y ~P z e. y <-> A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
24 5 23 sylbi 
 |-  ( A. z e. y ~P z C_ y -> ( A. z e. y ~P z e. y <-> A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
25 24 pm5.32i 
 |-  ( ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y ~P z e. y ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
26 r19.26 
 |-  ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y ~P z e. y ) )
27 r19.26 
 |-  ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
28 25 26 27 3bitr4i 
 |-  ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) <-> A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) )
29 velpw 
 |-  ( z e. ~P y <-> z C_ y )
30 impexp 
 |-  ( ( ( z C_ y /\ z ~<_ y ) -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) )
31 ssdomg 
 |-  ( y e. _V -> ( z C_ y -> z ~<_ y ) )
32 31 elv 
 |-  ( z C_ y -> z ~<_ y )
33 32 pm4.71i 
 |-  ( z C_ y <-> ( z C_ y /\ z ~<_ y ) )
34 33 imbi1i 
 |-  ( ( z C_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) <-> ( ( z C_ y /\ z ~<_ y ) -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
35 brsdom 
 |-  ( z ~< y <-> ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) )
36 35 imbi1i 
 |-  ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) -> z e. y ) )
37 impexp 
 |-  ( ( ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) -> z e. y ) <-> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
38 36 37 bitri 
 |-  ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
39 38 imbi2i 
 |-  ( ( z C_ y -> ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) )
40 30 34 39 3bitr4ri 
 |-  ( ( z C_ y -> ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
41 40 pm5.74ri 
 |-  ( z C_ y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
42 pm4.64 
 |-  ( ( -. z ~~ y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) )
43 41 42 bitrdi 
 |-  ( z C_ y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
44 29 43 sylbi 
 |-  ( z e. ~P y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
45 44 ralbiia 
 |-  ( A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) <-> A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )
46 2 28 45 3anbi123i 
 |-  ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
47 46 exbii 
 |-  ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
48 1 47 mpbir 
 |-  E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) )