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Theorem ballotlemrv2

Description: Value of R after the tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2017)

Ref Expression
Hypotheses ballotth.m 
|- M e. NN
ballotth.n 
|- N e. NN
ballotth.o 
|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p 
|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f 
|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e 
|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn 
|- N < M
ballotth.i 
|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s 
|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r 
|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
Assertion ballotlemrv2 
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( I ` C ) < J ) -> ( J e. ( R ` C ) <-> J e. C ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ballotth.m 
 |-  M e. NN
2 ballotth.n 
 |-  N e. NN
3 ballotth.o 
 |-  O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p 
 |-  P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f 
 |-  F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotth.e 
 |-  E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7 ballotth.mgtn 
 |-  N < M
8 ballotth.i 
 |-  I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9 ballotth.s 
 |-  S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10 ballotth.r 
 |-  R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ballotlemrv 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( J e. ( R ` C ) <-> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) e. C ) )
12 11 3adant3 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( I ` C ) < J ) -> ( J e. ( R ` C ) <-> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) e. C ) )
13 fzssuz 
 |-  ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
14 uzssz 
 |-  ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
15 13 14 sstri 
 |-  ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ZZ
16 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlemiex 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
17 16 simpld 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
18 15 17 sselid 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
19 18 adantr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
20 19 zred 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( I ` C ) e. RR )
21 simpr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
22 15 21 sselid 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> J e. ZZ )
23 22 zred 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> J e. RR )
24 20 23 ltnled 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( I ` C ) < J <-> -. J <_ ( I ` C ) ) )
25 24 biimp3a 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( I ` C ) < J ) -> -. J <_ ( I ` C ) )
26 25 iffalsed 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( I ` C ) < J ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) = J )
27 26 eleq1d 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( I ` C ) < J ) -> ( if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) e. C <-> J e. C ) )
28 12 27 bitrd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( I ` C ) < J ) -> ( J e. ( R ` C ) <-> J e. C ) )