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Theorem ballotlemsv

Description: Value of S evaluated at J for a given counting C . (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2017)

Ref Expression
Hypotheses ballotth.m 
|- M e. NN
ballotth.n 
|- N e. NN
ballotth.o 
|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p 
|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f 
|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e 
|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn 
|- N < M
ballotth.i 
|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s 
|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
Assertion ballotlemsv 
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ballotth.m 
 |-  M e. NN
2 ballotth.n 
 |-  N e. NN
3 ballotth.o 
 |-  O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p 
 |-  P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f 
 |-  F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotth.e 
 |-  E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7 ballotth.mgtn 
 |-  N < M
8 ballotth.i 
 |-  I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9 ballotth.s 
 |-  S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ballotlemsval 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) = ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
11 breq1 
 |-  ( i = j -> ( i <_ ( I ` C ) <-> j <_ ( I ` C ) ) )
12 oveq2 
 |-  ( i = j -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) )
13 id 
 |-  ( i = j -> i = j )
14 11 12 13 ifbieq12d 
 |-  ( i = j -> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
15 14 cbvmptv 
 |-  ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
16 10 15 eqtrdi 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) )
17 16 adantr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( S ` C ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) )
18 simpr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ j = J ) -> j = J )
19 18 breq1d 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ j = J ) -> ( j <_ ( I ` C ) <-> J <_ ( I ` C ) ) )
20 18 oveq2d 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ j = J ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
21 19 20 18 ifbieq12d 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ j = J ) -> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )
22 21 adantlr 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ j = J ) -> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )
23 simpr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
24 ovexd 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. _V )
25 elex 
 |-  ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> J e. _V )
26 25 ad2antlr 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ -. J <_ ( I ` C ) ) -> J e. _V )
27 24 26 ifclda 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) e. _V )
28 17 22 23 27 fvmptd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )