Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bcth.2 |
|- J = ( MetOpen ` D ) |
2 |
|
cmetmet |
|- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) ) |
3 |
|
metxmet |
|- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) ) |
4 |
2 3
|
syl |
|- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) ) |
5 |
1
|
mopntop |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top ) |
6 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> J e. Top ) |
7 |
|
ffvelrn |
|- ( ( M : NN --> J /\ k e. NN ) -> ( M ` k ) e. J ) |
8 |
|
elssuni |
|- ( ( M ` k ) e. J -> ( M ` k ) C_ U. J ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( ( M : NN --> J /\ k e. NN ) -> ( M ` k ) C_ U. J ) |
10 |
9
|
adantll |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( M ` k ) C_ U. J ) |
11 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
12 |
11
|
clsval2 |
|- ( ( J e. Top /\ ( M ` k ) C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) |
13 |
6 10 12
|
syl2anc |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) |
14 |
1
|
mopnuni |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J ) |
15 |
14
|
ad2antrr |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> X = U. J ) |
16 |
13 15
|
eqeq12d |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X <-> ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) = U. J ) ) |
17 |
|
difeq2 |
|- ( ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) = U. J -> ( U. J \ ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) = ( U. J \ U. J ) ) |
18 |
|
difid |
|- ( U. J \ U. J ) = (/) |
19 |
17 18
|
eqtrdi |
|- ( ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) = U. J -> ( U. J \ ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) = (/) ) |
20 |
|
difss |
|- ( U. J \ ( M ` k ) ) C_ U. J |
21 |
11
|
ntropn |
|- ( ( J e. Top /\ ( U. J \ ( M ` k ) ) C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) e. J ) |
22 |
6 20 21
|
sylancl |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) e. J ) |
23 |
|
elssuni |
|- ( ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) e. J -> ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) C_ U. J ) |
24 |
22 23
|
syl |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) C_ U. J ) |
25 |
|
dfss4 |
|- ( ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) C_ U. J <-> ( U. J \ ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) |
26 |
24 25
|
sylib |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( U. J \ ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) |
27 |
|
id |
|- ( k e. NN -> k e. NN ) |
28 |
|
elfvdm |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met ) |
29 |
|
difexg |
|- ( X e. dom *Met -> ( X \ ( M ` k ) ) e. _V ) |
30 |
28 29
|
syl |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( X \ ( M ` k ) ) e. _V ) |
31 |
30
|
adantr |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( X \ ( M ` k ) ) e. _V ) |
32 |
|
fveq2 |
|- ( x = k -> ( M ` x ) = ( M ` k ) ) |
33 |
32
|
difeq2d |
|- ( x = k -> ( X \ ( M ` x ) ) = ( X \ ( M ` k ) ) ) |
34 |
|
eqid |
|- ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) |
35 |
33 34
|
fvmptg |
|- ( ( k e. NN /\ ( X \ ( M ` k ) ) e. _V ) -> ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = ( X \ ( M ` k ) ) ) |
36 |
27 31 35
|
syl2anr |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = ( X \ ( M ` k ) ) ) |
37 |
15
|
difeq1d |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( X \ ( M ` k ) ) = ( U. J \ ( M ` k ) ) ) |
38 |
36 37
|
eqtrd |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = ( U. J \ ( M ` k ) ) ) |
39 |
38
|
fveq2d |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) |
40 |
26 39
|
eqtr4d |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( U. J \ ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) ) |
41 |
40
|
eqeq1d |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( U. J \ ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) ) = (/) <-> ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) ) ) |
42 |
19 41
|
syl5ib |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ ( M ` k ) ) ) ) = U. J -> ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) ) ) |
43 |
16 42
|
sylbid |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X -> ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) ) ) |
44 |
43
|
ralimdva |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( A. k e. NN ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X -> A. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) ) ) |
45 |
4 44
|
sylan |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( A. k e. NN ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X -> A. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) ) ) |
46 |
|
ffvelrn |
|- ( ( M : NN --> J /\ x e. NN ) -> ( M ` x ) e. J ) |
47 |
14
|
difeq1d |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( X \ ( M ` x ) ) = ( U. J \ ( M ` x ) ) ) |
48 |
47
|
adantr |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( M ` x ) e. J ) -> ( X \ ( M ` x ) ) = ( U. J \ ( M ` x ) ) ) |
49 |
11
|
opncld |
|- ( ( J e. Top /\ ( M ` x ) e. J ) -> ( U. J \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) |
50 |
5 49
|
sylan |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( M ` x ) e. J ) -> ( U. J \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) |
51 |
48 50
|
eqeltrd |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( M ` x ) e. J ) -> ( X \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) |
52 |
46 51
|
sylan2 |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( M : NN --> J /\ x e. NN ) ) -> ( X \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) |
53 |
52
|
anassrs |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ x e. NN ) -> ( X \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) |
54 |
53
|
ralrimiva |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> A. x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) |
55 |
4 54
|
sylan |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J ) -> A. x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) ) |
56 |
34
|
fmpt |
|- ( A. x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) ) |
57 |
55 56
|
sylib |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) ) |
58 |
|
nne |
|- ( -. ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) <-> ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) ) |
59 |
58
|
ralbii |
|- ( A. k e. NN -. ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) <-> A. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) ) |
60 |
|
ralnex |
|- ( A. k e. NN -. ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) <-> -. E. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) ) |
61 |
59 60
|
bitr3i |
|- ( A. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) <-> -. E. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) ) |
62 |
1
|
bcth |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) /\ ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) =/= (/) ) -> E. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) ) |
63 |
62
|
3expia |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) =/= (/) -> E. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) ) ) |
64 |
63
|
necon1bd |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) ) -> ( -. E. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) =/= (/) -> ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = (/) ) ) |
65 |
61 64
|
syl5bi |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) ) -> ( A. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) -> ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = (/) ) ) |
66 |
57 65
|
syldan |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( A. k e. NN ( ( int ` J ) ` ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) ) = (/) -> ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = (/) ) ) |
67 |
|
difeq2 |
|- ( ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = (/) -> ( U. J \ ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) ) = ( U. J \ (/) ) ) |
68 |
|
difexg |
|- ( X e. dom *Met -> ( X \ ( M ` x ) ) e. _V ) |
69 |
28 68
|
syl |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( X \ ( M ` x ) ) e. _V ) |
70 |
69
|
ad2antrr |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ x e. NN ) -> ( X \ ( M ` x ) ) e. _V ) |
71 |
70
|
ralrimiva |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> A. x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) e. _V ) |
72 |
34
|
fnmpt |
|- ( A. x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) e. _V -> ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) Fn NN ) |
73 |
|
fniunfv |
|- ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) Fn NN -> U_ k e. NN ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) |
74 |
71 72 73
|
3syl |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> U_ k e. NN ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) |
75 |
36
|
iuneq2dv |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> U_ k e. NN ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = U_ k e. NN ( X \ ( M ` k ) ) ) |
76 |
33
|
cbviunv |
|- U_ x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) = U_ k e. NN ( X \ ( M ` k ) ) |
77 |
75 76
|
eqtr4di |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> U_ k e. NN ( ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ` k ) = U_ x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) ) |
78 |
74 77
|
eqtr3d |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) = U_ x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) ) |
79 |
|
iundif2 |
|- U_ x e. NN ( X \ ( M ` x ) ) = ( X \ |^|_ x e. NN ( M ` x ) ) |
80 |
78 79
|
eqtrdi |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) = ( X \ |^|_ x e. NN ( M ` x ) ) ) |
81 |
|
ffn |
|- ( M : NN --> J -> M Fn NN ) |
82 |
81
|
adantl |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> M Fn NN ) |
83 |
|
fniinfv |
|- ( M Fn NN -> |^|_ x e. NN ( M ` x ) = |^| ran M ) |
84 |
82 83
|
syl |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> |^|_ x e. NN ( M ` x ) = |^| ran M ) |
85 |
84
|
difeq2d |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( X \ |^|_ x e. NN ( M ` x ) ) = ( X \ |^| ran M ) ) |
86 |
14
|
adantr |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> X = U. J ) |
87 |
86
|
difeq1d |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( X \ |^| ran M ) = ( U. J \ |^| ran M ) ) |
88 |
80 85 87
|
3eqtrd |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) = ( U. J \ |^| ran M ) ) |
89 |
88
|
fveq2d |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( U. J \ |^| ran M ) ) ) |
90 |
89
|
difeq2d |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( U. J \ ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) ) = ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ |^| ran M ) ) ) ) |
91 |
5
|
adantr |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> J e. Top ) |
92 |
|
1nn |
|- 1 e. NN |
93 |
|
biidd |
|- ( k = 1 -> ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> |^| ran M C_ U. J ) <-> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> |^| ran M C_ U. J ) ) ) |
94 |
|
fnfvelrn |
|- ( ( M Fn NN /\ k e. NN ) -> ( M ` k ) e. ran M ) |
95 |
82 94
|
sylan |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> ( M ` k ) e. ran M ) |
96 |
|
intss1 |
|- ( ( M ` k ) e. ran M -> |^| ran M C_ ( M ` k ) ) |
97 |
95 96
|
syl |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> |^| ran M C_ ( M ` k ) ) |
98 |
97 10
|
sstrd |
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) /\ k e. NN ) -> |^| ran M C_ U. J ) |
99 |
98
|
expcom |
|- ( k e. NN -> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> |^| ran M C_ U. J ) ) |
100 |
93 99
|
vtoclga |
|- ( 1 e. NN -> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> |^| ran M C_ U. J ) ) |
101 |
92 100
|
ax-mp |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> |^| ran M C_ U. J ) |
102 |
11
|
clsval2 |
|- ( ( J e. Top /\ |^| ran M C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ |^| ran M ) ) ) ) |
103 |
91 101 102
|
syl2anc |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = ( U. J \ ( ( int ` J ) ` ( U. J \ |^| ran M ) ) ) ) |
104 |
90 103
|
eqtr4d |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( U. J \ ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) ) = ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) ) |
105 |
|
dif0 |
|- ( U. J \ (/) ) = U. J |
106 |
105 86
|
eqtr4id |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( U. J \ (/) ) = X ) |
107 |
104 106
|
eqeq12d |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( ( U. J \ ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) ) = ( U. J \ (/) ) <-> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = X ) ) |
108 |
67 107
|
syl5ib |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = (/) -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = X ) ) |
109 |
4 108
|
sylan |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( ( ( int ` J ) ` U. ran ( x e. NN |-> ( X \ ( M ` x ) ) ) ) = (/) -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = X ) ) |
110 |
45 66 109
|
3syld |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J ) -> ( A. k e. NN ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = X ) ) |
111 |
110
|
3impia |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ M : NN --> J /\ A. k e. NN ( ( cls ` J ) ` ( M ` k ) ) = X ) -> ( ( cls ` J ) ` |^| ran M ) = X ) |