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Theorem bnj1398

Description: Technical lemma for bnj60 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses bnj1398.1 
|- B = { d | ( d C_ A /\ A. x e. d _pred ( x , A , R ) C_ d ) }
bnj1398.2 
|- Y = <. x , ( f |` _pred ( x , A , R ) ) >.
bnj1398.3 
|- C = { f | E. d e. B ( f Fn d /\ A. x e. d ( f ` x ) = ( G ` Y ) ) }
bnj1398.4 
|- ( ta <-> ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) )
bnj1398.5 
|- D = { x e. A | -. E. f ta }
bnj1398.6 
|- ( ps <-> ( R _FrSe A /\ D =/= (/) ) )
bnj1398.7 
|- ( ch <-> ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x ) )
bnj1398.8 
|- ( ta' <-> [. y / x ]. ta )
bnj1398.9 
|- H = { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) ta' }
bnj1398.10 
|- P = U. H
bnj1398.11 
|- ( th <-> ( ch /\ z e. U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) )
bnj1398.12 
|- ( et <-> ( th /\ y e. _pred ( x , A , R ) /\ z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) )
Assertion bnj1398 
|- ( ch -> U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) = dom P )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bnj1398.1 
 |-  B = { d | ( d C_ A /\ A. x e. d _pred ( x , A , R ) C_ d ) }
2 bnj1398.2 
 |-  Y = <. x , ( f |` _pred ( x , A , R ) ) >.
3 bnj1398.3 
 |-  C = { f | E. d e. B ( f Fn d /\ A. x e. d ( f ` x ) = ( G ` Y ) ) }
4 bnj1398.4 
 |-  ( ta <-> ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) )
5 bnj1398.5 
 |-  D = { x e. A | -. E. f ta }
6 bnj1398.6 
 |-  ( ps <-> ( R _FrSe A /\ D =/= (/) ) )
7 bnj1398.7 
 |-  ( ch <-> ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x ) )
8 bnj1398.8 
 |-  ( ta' <-> [. y / x ]. ta )
9 bnj1398.9 
 |-  H = { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) ta' }
10 bnj1398.10 
 |-  P = U. H
11 bnj1398.11 
 |-  ( th <-> ( ch /\ z e. U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) )
12 bnj1398.12 
 |-  ( et <-> ( th /\ y e. _pred ( x , A , R ) /\ z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) )
13 df-iun 
 |-  U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) = { z | E. y e. _pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) }
14 13 bnj1436 
 |-  ( z e. U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) -> E. y e. _pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
15 11 14 simplbiim 
 |-  ( th -> E. y e. _pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
16 nfv 
 |-  F/ y ps
17 nfv 
 |-  F/ y x e. D
18 nfra1 
 |-  F/ y A. y e. D -. y R x
19 16 17 18 nf3an 
 |-  F/ y ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x )
20 7 19 nfxfr 
 |-  F/ y ch
21 nfiu1 
 |-  F/_ y U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) )
22 21 nfcri 
 |-  F/ y z e. U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) )
23 20 22 nfan 
 |-  F/ y ( ch /\ z e. U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
24 11 23 nfxfr 
 |-  F/ y th
25 24 nf5ri 
 |-  ( th -> A. y th )
26 15 12 25 bnj1521 
 |-  ( th -> E. y et )
27 nfv 
 |-  F/ f R _FrSe A
28 nfe1 
 |-  F/ f E. f ta
29 28 nfn 
 |-  F/ f -. E. f ta
30 nfcv 
 |-  F/_ f A
31 29 30 nfrabw 
 |-  F/_ f { x e. A | -. E. f ta }
32 5 31 nfcxfr 
 |-  F/_ f D
33 nfcv 
 |-  F/_ f (/)
34 32 33 nfne 
 |-  F/ f D =/= (/)
35 27 34 nfan 
 |-  F/ f ( R _FrSe A /\ D =/= (/) )
36 6 35 nfxfr 
 |-  F/ f ps
37 32 nfcri 
 |-  F/ f x e. D
38 nfv 
 |-  F/ f -. y R x
39 32 38 nfralw 
 |-  F/ f A. y e. D -. y R x
40 36 37 39 nf3an 
 |-  F/ f ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x )
41 7 40 nfxfr 
 |-  F/ f ch
42 nfv 
 |-  F/ f z e. U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) )
43 41 42 nfan 
 |-  F/ f ( ch /\ z e. U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
44 11 43 nfxfr 
 |-  F/ f th
45 nfv 
 |-  F/ f y e. _pred ( x , A , R )
46 nfv 
 |-  F/ f z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) )
47 44 45 46 nf3an 
 |-  F/ f ( th /\ y e. _pred ( x , A , R ) /\ z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
48 12 47 nfxfr 
 |-  F/ f et
49 48 nf5ri 
 |-  ( et -> A. f et )
50 11 simplbi 
 |-  ( th -> ch )
51 12 50 bnj835 
 |-  ( et -> ch )
52 12 simp2bi 
 |-  ( et -> y e. _pred ( x , A , R ) )
53 1 2 3 4 5 6 7 8 bnj1388 
 |-  ( ch -> A. y e. _pred ( x , A , R ) E. f ta' )
54 rsp 
 |-  ( A. y e. _pred ( x , A , R ) E. f ta' -> ( y e. _pred ( x , A , R ) -> E. f ta' ) )
55 53 54 syl 
 |-  ( ch -> ( y e. _pred ( x , A , R ) -> E. f ta' ) )
56 51 52 55 sylc 
 |-  ( et -> E. f ta' )
57 49 56 bnj596 
 |-  ( et -> E. f ( et /\ ta' ) )
58 1 2 3 4 8 bnj1373 
 |-  ( ta' <-> ( f e. C /\ dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) )
59 58 simplbi 
 |-  ( ta' -> f e. C )
60 59 adantl 
 |-  ( ( et /\ ta' ) -> f e. C )
61 58 simprbi 
 |-  ( ta' -> dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
62 rspe 
 |-  ( ( y e. _pred ( x , A , R ) /\ dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) -> E. y e. _pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
63 52 61 62 syl2an 
 |-  ( ( et /\ ta' ) -> E. y e. _pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
64 9 eqabri 
 |-  ( f e. H <-> E. y e. _pred ( x , A , R ) ta' )
65 58 rexbii 
 |-  ( E. y e. _pred ( x , A , R ) ta' <-> E. y e. _pred ( x , A , R ) ( f e. C /\ dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) )
66 r19.42v 
 |-  ( E. y e. _pred ( x , A , R ) ( f e. C /\ dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) <-> ( f e. C /\ E. y e. _pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) )
67 64 65 66 3bitri 
 |-  ( f e. H <-> ( f e. C /\ E. y e. _pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) )
68 60 63 67 sylanbrc 
 |-  ( ( et /\ ta' ) -> f e. H )
69 12 simp3bi 
 |-  ( et -> z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
70 69 adantr 
 |-  ( ( et /\ ta' ) -> z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
71 61 adantl 
 |-  ( ( et /\ ta' ) -> dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
72 70 71 eleqtrrd 
 |-  ( ( et /\ ta' ) -> z e. dom f )
73 68 72 jca 
 |-  ( ( et /\ ta' ) -> ( f e. H /\ z e. dom f ) )
74 57 73 bnj593 
 |-  ( et -> E. f ( f e. H /\ z e. dom f ) )
75 df-rex 
 |-  ( E. f e. H z e. dom f <-> E. f ( f e. H /\ z e. dom f ) )
76 74 75 sylibr 
 |-  ( et -> E. f e. H z e. dom f )
77 10 dmeqi 
 |-  dom P = dom U. H
78 9 bnj1317 
 |-  ( w e. H -> A. f w e. H )
79 78 bnj1400 
 |-  dom U. H = U_ f e. H dom f
80 77 79 eqtri 
 |-  dom P = U_ f e. H dom f
81 80 eleq2i 
 |-  ( z e. dom P <-> z e. U_ f e. H dom f )
82 eliun 
 |-  ( z e. U_ f e. H dom f <-> E. f e. H z e. dom f )
83 81 82 bitri 
 |-  ( z e. dom P <-> E. f e. H z e. dom f )
84 76 83 sylibr 
 |-  ( et -> z e. dom P )
85 26 84 bnj593 
 |-  ( th -> E. y z e. dom P )
86 nfre1 
 |-  F/ y E. y e. _pred ( x , A , R ) ta'
87 86 nfab 
 |-  F/_ y { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) ta' }
88 9 87 nfcxfr 
 |-  F/_ y H
89 88 nfuni 
 |-  F/_ y U. H
90 10 89 nfcxfr 
 |-  F/_ y P
91 90 nfdm 
 |-  F/_ y dom P
92 91 nfcrii 
 |-  ( z e. dom P -> A. y z e. dom P )
93 85 92 bnj1397 
 |-  ( th -> z e. dom P )
94 11 93 sylbir 
 |-  ( ( ch /\ z e. U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) -> z e. dom P )
95 94 ex 
 |-  ( ch -> ( z e. U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) -> z e. dom P ) )
96 95 ssrdv 
 |-  ( ch -> U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) C_ dom P )
97 simpr 
 |-  ( ( f e. H /\ z e. dom f ) -> z e. dom f )
98 67 simprbi 
 |-  ( f e. H -> E. y e. _pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
99 98 adantr 
 |-  ( ( f e. H /\ z e. dom f ) -> E. y e. _pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
100 r19.42v 
 |-  ( E. y e. _pred ( x , A , R ) ( z e. dom f /\ dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) <-> ( z e. dom f /\ E. y e. _pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) )
101 eleq2 
 |-  ( dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) -> ( z e. dom f <-> z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) )
102 101 biimpac 
 |-  ( ( z e. dom f /\ dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) -> z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
103 102 reximi 
 |-  ( E. y e. _pred ( x , A , R ) ( z e. dom f /\ dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) -> E. y e. _pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
104 100 103 sylbir 
 |-  ( ( z e. dom f /\ E. y e. _pred ( x , A , R ) dom f = ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) ) -> E. y e. _pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
105 97 99 104 syl2anc 
 |-  ( ( f e. H /\ z e. dom f ) -> E. y e. _pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
106 105 rexlimiva 
 |-  ( E. f e. H z e. dom f -> E. y e. _pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
107 eliun 
 |-  ( z e. U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) <-> E. y e. _pred ( x , A , R ) z e. ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
108 106 83 107 3imtr4i 
 |-  ( z e. dom P -> z e. U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
109 108 ssriv 
 |-  dom P C_ U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) )
110 109 a1i 
 |-  ( ch -> dom P C_ U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) )
111 96 110 eqssd 
 |-  ( ch -> U_ y e. _pred ( x , A , R ) ( { y } u. _trCl ( y , A , R ) ) = dom P )