Theorem caovclg

Description: Convert an operation closure law to class notation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2014)

	Ref	Expression
Hypothesis	caovclg.1	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x F y ) e. E )
Assertion	caovclg	|- ( ( ph /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( A F B ) e. E )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caovclg.1	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x F y ) e. E )
2	1	ralrimivva	|- ( ph -> A. x e. C A. y e. D ( x F y ) e. E )
3		oveq1	|- ( x = A -> ( x F y ) = ( A F y ) )
4	3	eleq1d	|- ( x = A -> ( ( x F y ) e. E <-> ( A F y ) e. E ) )
5		oveq2	|- ( y = B -> ( A F y ) = ( A F B ) )
6	5	eleq1d	|- ( y = B -> ( ( A F y ) e. E <-> ( A F B ) e. E ) )
7	4 6	rspc2v	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ( x F y ) e. E -> ( A F B ) e. E ) )
8	2 7	mpan9	|- ( ( ph /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( A F B ) e. E )