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Theorem catlid

Description: Left identity property of an identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017)

Ref Expression
Hypotheses catidcl.b 
|- B = ( Base ` C )
catidcl.h 
|- H = ( Hom ` C )
catidcl.i 
|- .1. = ( Id ` C )
catidcl.c 
|- ( ph -> C e. Cat )
catidcl.x 
|- ( ph -> X e. B )
catlid.o 
|- .x. = ( comp ` C )
catlid.y 
|- ( ph -> Y e. B )
catlid.f 
|- ( ph -> F e. ( X H Y ) )
Assertion catlid 
|- ( ph -> ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) F ) = F )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 catidcl.b 
 |-  B = ( Base ` C )
2 catidcl.h 
 |-  H = ( Hom ` C )
3 catidcl.i 
 |-  .1. = ( Id ` C )
4 catidcl.c 
 |-  ( ph -> C e. Cat )
5 catidcl.x 
 |-  ( ph -> X e. B )
6 catlid.o 
 |-  .x. = ( comp ` C )
7 catlid.y 
 |-  ( ph -> Y e. B )
8 catlid.f 
 |-  ( ph -> F e. ( X H Y ) )
9 oveq2 
 |-  ( f = F -> ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) = ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) F ) )
10 id 
 |-  ( f = F -> f = F )
11 9 10 eqeq12d 
 |-  ( f = F -> ( ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) = f <-> ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) F ) = F ) )
12 oveq1 
 |-  ( x = X -> ( x H Y ) = ( X H Y ) )
13 opeq1 
 |-  ( x = X -> <. x , Y >. = <. X , Y >. )
14 13 oveq1d 
 |-  ( x = X -> ( <. x , Y >. .x. Y ) = ( <. X , Y >. .x. Y ) )
15 14 oveqd 
 |-  ( x = X -> ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) )
16 15 eqeq1d 
 |-  ( x = X -> ( ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f <-> ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
17 12 16 raleqbidv 
 |-  ( x = X -> ( A. f e. ( x H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f <-> A. f e. ( X H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
18 simpl 
 |-  ( ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) -> A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f )
19 18 ralimi 
 |-  ( A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) -> A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f )
20 19 a1i 
 |-  ( g e. ( Y H Y ) -> ( A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) -> A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
21 20 ss2rabi 
 |-  { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) } C_ { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f }
22 1 2 6 4 3 7 cidval 
 |-  ( ph -> ( .1. ` Y ) = ( iota_ g e. ( Y H Y ) A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) ) )
23 1 2 6 4 7 catideu 
 |-  ( ph -> E! g e. ( Y H Y ) A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) )
24 riotacl2 
 |-  ( E! g e. ( Y H Y ) A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) -> ( iota_ g e. ( Y H Y ) A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) ) e. { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) } )
25 23 24 syl 
 |-  ( ph -> ( iota_ g e. ( Y H Y ) A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) ) e. { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) } )
26 22 25 eqeltrd 
 |-  ( ph -> ( .1. ` Y ) e. { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) } )
27 21 26 sselid 
 |-  ( ph -> ( .1. ` Y ) e. { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f } )
28 oveq1 
 |-  ( g = ( .1. ` Y ) -> ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) )
29 28 eqeq1d 
 |-  ( g = ( .1. ` Y ) -> ( ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f <-> ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
30 29 2ralbidv 
 |-  ( g = ( .1. ` Y ) -> ( A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f <-> A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
31 30 elrab 
 |-  ( ( .1. ` Y ) e. { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f } <-> ( ( .1. ` Y ) e. ( Y H Y ) /\ A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
32 31 simprbi 
 |-  ( ( .1. ` Y ) e. { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f } -> A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f )
33 27 32 syl 
 |-  ( ph -> A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f )
34 17 33 5 rspcdva 
 |-  ( ph -> A. f e. ( X H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) = f )
35 11 34 8 rspcdva 
 |-  ( ph -> ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) F ) = F )