Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
chcoeffeq.a |
|- A = ( N Mat R ) |
2 |
|
chcoeffeq.b |
|- B = ( Base ` A ) |
3 |
|
chcoeffeq.p |
|- P = ( Poly1 ` R ) |
4 |
|
chcoeffeq.y |
|- Y = ( N Mat P ) |
5 |
|
chcoeffeq.r |
|- .X. = ( .r ` Y ) |
6 |
|
chcoeffeq.s |
|- .- = ( -g ` Y ) |
7 |
|
chcoeffeq.0 |
|- .0. = ( 0g ` Y ) |
8 |
|
chcoeffeq.t |
|- T = ( N matToPolyMat R ) |
9 |
|
chcoeffeq.c |
|- C = ( N CharPlyMat R ) |
10 |
|
chcoeffeq.k |
|- K = ( C ` M ) |
11 |
|
chcoeffeq.g |
|- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) ) |
12 |
|
chcoeffeq.w |
|- W = ( Base ` Y ) |
13 |
|
chcoeffeq.1 |
|- .1. = ( 1r ` A ) |
14 |
|
chcoeffeq.m |
|- .* = ( .s ` A ) |
15 |
|
chcoeffeq.u |
|- U = ( N cPolyMatToMat R ) |
16 |
|
cayhamlem.e1 |
|- .^ = ( .g ` ( mulGrp ` A ) ) |
17 |
|
cayhamlem.e2 |
|- E = ( .g ` ( mulGrp ` Y ) ) |
18 |
|
id |
|- ( ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( ( coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) -> ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( ( coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) |
19 |
|
simp1 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> N e. Fin ) |
20 |
19
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> N e. Fin ) |
21 |
|
crngring |
|- ( R e. CRing -> R e. Ring ) |
22 |
21
|
3ad2ant2 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. Ring ) |
23 |
22
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> R e. Ring ) |
24 |
|
eqid |
|- ( 0g ` A ) = ( 0g ` A ) |
25 |
1
|
matring |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring ) |
26 |
21 25
|
sylan2 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A e. Ring ) |
27 |
|
ringcmn |
|- ( A e. Ring -> A e. CMnd ) |
28 |
26 27
|
syl |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A e. CMnd ) |
29 |
28
|
3adant3 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> A e. CMnd ) |
30 |
29
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> A e. CMnd ) |
31 |
|
nn0ex |
|- NN0 e. _V |
32 |
31
|
a1i |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> NN0 e. _V ) |
33 |
20 23 25
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> A e. Ring ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> A e. Ring ) |
35 |
|
eqid |
|- ( mulGrp ` A ) = ( mulGrp ` A ) |
36 |
35 2
|
mgpbas |
|- B = ( Base ` ( mulGrp ` A ) ) |
37 |
19 22 25
|
syl2anc |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> A e. Ring ) |
38 |
35
|
ringmgp |
|- ( A e. Ring -> ( mulGrp ` A ) e. Mnd ) |
39 |
37 38
|
syl |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( mulGrp ` A ) e. Mnd ) |
40 |
39
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( mulGrp ` A ) e. Mnd ) |
41 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 ) |
42 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> M e. B ) |
43 |
42
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> M e. B ) |
44 |
36 16 40 41 43
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ M ) e. B ) |
45 |
|
eqid |
|- ( N ConstPolyMat R ) = ( N ConstPolyMat R ) |
46 |
1 2 45 15
|
cpm2mf |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> U : ( N ConstPolyMat R ) --> B ) |
47 |
19 22 46
|
syl2anc |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> U : ( N ConstPolyMat R ) --> B ) |
48 |
47
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> U : ( N ConstPolyMat R ) --> B ) |
49 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> s e. NN ) |
50 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) |
51 |
1 2 3 4 5 6 7 8 11 45
|
chfacfisfcpmat |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G : NN0 --> ( N ConstPolyMat R ) ) |
52 |
20 23 42 49 50 51
|
syl32anc |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> G : NN0 --> ( N ConstPolyMat R ) ) |
53 |
52
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( G ` n ) e. ( N ConstPolyMat R ) ) |
54 |
48 53
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( U ` ( G ` n ) ) e. B ) |
55 |
|
eqid |
|- ( .r ` A ) = ( .r ` A ) |
56 |
2 55
|
ringcl |
|- ( ( A e. Ring /\ ( n .^ M ) e. B /\ ( U ` ( G ` n ) ) e. B ) -> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) e. B ) |
57 |
34 44 54 56
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) e. B ) |
58 |
57
|
fmpttd |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) : NN0 --> B ) |
59 |
|
fvexd |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( 0g ` A ) e. _V ) |
60 |
|
ovexd |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) e. _V ) |
61 |
1 2 3 4 5 6 7 8 11
|
chfacffsupp |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G finSupp ( 0g ` Y ) ) |
62 |
61
|
anassrs |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> G finSupp ( 0g ` Y ) ) |
63 |
|
ovex |
|- ( N ConstPolyMat R ) e. _V |
64 |
63 31
|
pm3.2i |
|- ( ( N ConstPolyMat R ) e. _V /\ NN0 e. _V ) |
65 |
|
elmapg |
|- ( ( ( N ConstPolyMat R ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( G e. ( ( N ConstPolyMat R ) ^m NN0 ) <-> G : NN0 --> ( N ConstPolyMat R ) ) ) |
66 |
64 65
|
mp1i |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( G e. ( ( N ConstPolyMat R ) ^m NN0 ) <-> G : NN0 --> ( N ConstPolyMat R ) ) ) |
67 |
52 66
|
mpbird |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> G e. ( ( N ConstPolyMat R ) ^m NN0 ) ) |
68 |
|
fvex |
|- ( 0g ` Y ) e. _V |
69 |
|
fsuppmapnn0ub |
|- ( ( G e. ( ( N ConstPolyMat R ) ^m NN0 ) /\ ( 0g ` Y ) e. _V ) -> ( G finSupp ( 0g ` Y ) -> E. w e. NN0 A. z e. NN0 ( w < z -> ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) ) ) |
70 |
67 68 69
|
sylancl |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( G finSupp ( 0g ` Y ) -> E. w e. NN0 A. z e. NN0 ( w < z -> ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) ) ) |
71 |
|
csbov12g |
|- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( [_ z / n ]_ ( n .^ M ) ( .r ` A ) [_ z / n ]_ ( U ` ( G ` n ) ) ) ) |
72 |
|
csbov1g |
|- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( n .^ M ) = ( [_ z / n ]_ n .^ M ) ) |
73 |
|
csbvarg |
|- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ n = z ) |
74 |
73
|
oveq1d |
|- ( z e. NN0 -> ( [_ z / n ]_ n .^ M ) = ( z .^ M ) ) |
75 |
72 74
|
eqtrd |
|- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( n .^ M ) = ( z .^ M ) ) |
76 |
|
csbfv2g |
|- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( U ` ( G ` n ) ) = ( U ` [_ z / n ]_ ( G ` n ) ) ) |
77 |
|
csbfv |
|- [_ z / n ]_ ( G ` n ) = ( G ` z ) |
78 |
77
|
a1i |
|- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( G ` n ) = ( G ` z ) ) |
79 |
78
|
fveq2d |
|- ( z e. NN0 -> ( U ` [_ z / n ]_ ( G ` n ) ) = ( U ` ( G ` z ) ) ) |
80 |
76 79
|
eqtrd |
|- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( U ` ( G ` n ) ) = ( U ` ( G ` z ) ) ) |
81 |
75 80
|
oveq12d |
|- ( z e. NN0 -> ( [_ z / n ]_ ( n .^ M ) ( .r ` A ) [_ z / n ]_ ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` z ) ) ) ) |
82 |
71 81
|
eqtrd |
|- ( z e. NN0 -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` z ) ) ) ) |
83 |
82
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) /\ ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` z ) ) ) ) |
84 |
|
fveq2 |
|- ( ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) -> ( U ` ( G ` z ) ) = ( U ` ( 0g ` Y ) ) ) |
85 |
19 22
|
jca |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) ) |
86 |
85
|
adantr |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) ) |
87 |
|
eqid |
|- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y ) |
88 |
1 15 3 4 24 87
|
m2cpminv0 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( U ` ( 0g ` Y ) ) = ( 0g ` A ) ) |
89 |
86 88
|
syl |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) -> ( U ` ( 0g ` Y ) ) = ( 0g ` A ) ) |
90 |
89
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( U ` ( 0g ` Y ) ) = ( 0g ` A ) ) |
91 |
84 90
|
sylan9eqr |
|- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) /\ ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( U ` ( G ` z ) ) = ( 0g ` A ) ) |
92 |
91
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) /\ ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` z ) ) ) = ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( 0g ` A ) ) ) |
93 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> A e. Ring ) |
94 |
39
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( mulGrp ` A ) e. Mnd ) |
95 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> z e. NN0 ) |
96 |
42
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> M e. B ) |
97 |
36 16 94 95 96
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( z .^ M ) e. B ) |
98 |
93 97
|
jca |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( A e. Ring /\ ( z .^ M ) e. B ) ) |
99 |
98
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) /\ ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( A e. Ring /\ ( z .^ M ) e. B ) ) |
100 |
2 55 24
|
ringrz |
|- ( ( A e. Ring /\ ( z .^ M ) e. B ) -> ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` A ) ) |
101 |
99 100
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) /\ ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( ( z .^ M ) ( .r ` A ) ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` A ) ) |
102 |
83 92 101
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) /\ ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) |
103 |
102
|
ex |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ z e. NN0 ) -> ( ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) ) |
104 |
103
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ w e. NN0 ) /\ z e. NN0 ) -> ( ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) ) |
105 |
104
|
imim2d |
|- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ w e. NN0 ) /\ z e. NN0 ) -> ( ( w < z -> ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( w < z -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) ) ) |
106 |
105
|
ralimdva |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ w e. NN0 ) -> ( A. z e. NN0 ( w < z -> ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> A. z e. NN0 ( w < z -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) ) ) |
107 |
106
|
reximdva |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( E. w e. NN0 A. z e. NN0 ( w < z -> ( G ` z ) = ( 0g ` Y ) ) -> E. w e. NN0 A. z e. NN0 ( w < z -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) ) ) |
108 |
70 107
|
syld |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( G finSupp ( 0g ` Y ) -> E. w e. NN0 A. z e. NN0 ( w < z -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) ) ) |
109 |
62 108
|
mpd |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> E. w e. NN0 A. z e. NN0 ( w < z -> [_ z / n ]_ ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( 0g ` A ) ) ) |
110 |
59 60 109
|
mptnn0fsupp |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) finSupp ( 0g ` A ) ) |
111 |
2 24 30 32 58 110
|
gsumcl |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B ) |
112 |
15 1 2 8
|
m2cpminvid |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B ) -> ( U ` ( T ` ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) |
113 |
20 23 111 112
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( U ` ( T ` ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) |
114 |
3 4
|
pmatring |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Y e. Ring ) |
115 |
19 22 114
|
syl2anc |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Ring ) |
116 |
|
ringmnd |
|- ( Y e. Ring -> Y e. Mnd ) |
117 |
115 116
|
syl |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Mnd ) |
118 |
117
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> Y e. Mnd ) |
119 |
8 1 2 3 4 12
|
mat2pmatghm |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T e. ( A GrpHom Y ) ) |
120 |
20 23 119
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> T e. ( A GrpHom Y ) ) |
121 |
|
ghmmhm |
|- ( T e. ( A GrpHom Y ) -> T e. ( A MndHom Y ) ) |
122 |
120 121
|
syl |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> T e. ( A MndHom Y ) ) |
123 |
37
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> A e. Ring ) |
124 |
21 46
|
sylan2 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> U : ( N ConstPolyMat R ) --> B ) |
125 |
124
|
3adant3 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> U : ( N ConstPolyMat R ) --> B ) |
126 |
125
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> U : ( N ConstPolyMat R ) --> B ) |
127 |
126 53
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( U ` ( G ` n ) ) e. B ) |
128 |
123 44 127 56
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) e. B ) |
129 |
2 24 30 118 32 122 128 110
|
gsummptmhm |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( Y gsum ( n e. NN0 |-> ( T ` ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) = ( T ` ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) ) |
130 |
8 1 2 3 4 12
|
mat2pmatrhm |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> T e. ( A RingHom Y ) ) |
131 |
130
|
3adant3 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> T e. ( A RingHom Y ) ) |
132 |
131
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> T e. ( A RingHom Y ) ) |
133 |
2 55 5
|
rhmmul |
|- ( ( T e. ( A RingHom Y ) /\ ( n .^ M ) e. B /\ ( U ` ( G ` n ) ) e. B ) -> ( T ` ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) = ( ( T ` ( n .^ M ) ) .X. ( T ` ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) |
134 |
132 44 127 133
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) = ( ( T ` ( n .^ M ) ) .X. ( T ` ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) |
135 |
8 1 2 3 4 12
|
mat2pmatmhm |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> T e. ( ( mulGrp ` A ) MndHom ( mulGrp ` Y ) ) ) |
136 |
135
|
3adant3 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> T e. ( ( mulGrp ` A ) MndHom ( mulGrp ` Y ) ) ) |
137 |
136
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> T e. ( ( mulGrp ` A ) MndHom ( mulGrp ` Y ) ) ) |
138 |
36 16 17
|
mhmmulg |
|- ( ( T e. ( ( mulGrp ` A ) MndHom ( mulGrp ` Y ) ) /\ n e. NN0 /\ M e. B ) -> ( T ` ( n .^ M ) ) = ( n E ( T ` M ) ) ) |
139 |
137 41 43 138
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( n .^ M ) ) = ( n E ( T ` M ) ) ) |
140 |
19
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> N e. Fin ) |
141 |
22
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> R e. Ring ) |
142 |
45 15 8
|
m2cpminvid2 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( G ` n ) e. ( N ConstPolyMat R ) ) -> ( T ` ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( G ` n ) ) |
143 |
140 141 53 142
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( U ` ( G ` n ) ) ) = ( G ` n ) ) |
144 |
139 143
|
oveq12d |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( T ` ( n .^ M ) ) .X. ( T ` ( U ` ( G ` n ) ) ) ) = ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) |
145 |
134 144
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) = ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) |
146 |
145
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( n e. NN0 |-> ( T ` ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) |
147 |
146
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( Y gsum ( n e. NN0 |-> ( T ` ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) = ( Y gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) ) |
148 |
129 147
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( T ` ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) = ( Y gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) ) |
149 |
148
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( U ` ( T ` ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( U ` ( Y gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) ) ) |
150 |
113 149
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( U ` ( Y gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) ) ) |
151 |
18 150
|
sylan9eqr |
|- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( ( coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( ( coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( U ` ( Y gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) ) ) |
152 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55
|
cayhamlem3 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> E. s e. NN E. b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( ( coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ M ) ( .r ` A ) ( U ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) |
153 |
151 152
|
reximddv2 |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> E. s e. NN E. b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ( A gsum ( n e. NN0 |-> ( ( ( coe1 ` K ) ` n ) .* ( n .^ M ) ) ) ) = ( U ` ( Y gsum ( n e. NN0 |-> ( ( n E ( T ` M ) ) .X. ( G ` n ) ) ) ) ) ) |