Theorem cbvralsvw

Description: Change bound variable by using a substitution. Version of cbvralsv with a disjoint variable condition, which does not require ax-13 . (Contributed by NM, 20-Nov-2005) Avoid ax-13 . (Revised by GG, 10-Jan-2024) (Proof shortened by Wolf Lammen, 8-Mar-2025) Avoid ax-10 , ax-12 . (Revised by SN, 21-Aug-2025)

	Ref	Expression
Assertion	cbvralsvw	|- ( A. x e. A ph <-> A. y e. A [ y / x ] ph )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sb8v	|- ( A. x ( x e. A -> ph ) <-> A. y [ y / x ] ( x e. A -> ph ) )
2		df-ral	|- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
3		df-ral	|- ( A. y e. A [ y / x ] ph <-> A. y ( y e. A -> [ y / x ] ph ) )
4		eleq1w	|- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
5	4	imbi1d	|- ( x = y -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( y e. A -> ph ) ) )
6	5	pm5.74i	|- ( ( x = y -> ( x e. A -> ph ) ) <-> ( x = y -> ( y e. A -> ph ) ) )
7	6	albii	|- ( A. x ( x = y -> ( x e. A -> ph ) ) <-> A. x ( x = y -> ( y e. A -> ph ) ) )
8		sb6	|- ( [ y / x ] ( x e. A -> ph ) <-> A. x ( x = y -> ( x e. A -> ph ) ) )
9		sb6	|- ( [ y / x ] ( y e. A -> ph ) <-> A. x ( x = y -> ( y e. A -> ph ) ) )
10	7 8 9	3bitr4i	|- ( [ y / x ] ( x e. A -> ph ) <-> [ y / x ] ( y e. A -> ph ) )
11		sbrimvw	|- ( [ y / x ] ( y e. A -> ph ) <-> ( y e. A -> [ y / x ] ph ) )
12	10 11	bitr2i	|- ( ( y e. A -> [ y / x ] ph ) <-> [ y / x ] ( x e. A -> ph ) )
13	12	albii	|- ( A. y ( y e. A -> [ y / x ] ph ) <-> A. y [ y / x ] ( x e. A -> ph ) )
14	3 13	bitri	|- ( A. y e. A [ y / x ] ph <-> A. y [ y / x ] ( x e. A -> ph ) )
15	1 2 14	3bitr4i	|- ( A. x e. A ph <-> A. y e. A [ y / x ] ph )