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Theorem cdlemd7

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 1-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdlemd4.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemd4.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemd4.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemd4.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemd4.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion cdlemd7 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemd4.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemd4.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemd4.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 cdlemd4.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
5 cdlemd4.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
6 simp1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) )
7 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
8 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
9 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> K e. HL )
10 9 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> K e. Lat )
11 simp2rl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> Q e. A )
12 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
13 12 3 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )
14 11 13 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
15 simp2ll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> P e. A )
16 12 3 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
17 15 16 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
18 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
19 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> F e. T )
20 12 4 5 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` P ) e. ( Base ` K ) )
21 18 19 17 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` P ) e. ( Base ` K ) )
22 simp3r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) )
23 12 1 2 latnlej1l 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q e. ( Base ` K ) /\ P e. ( Base ` K ) /\ ( F ` P ) e. ( Base ` K ) ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) -> Q =/= P )
24 23 necomd 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q e. ( Base ` K ) /\ P e. ( Base ` K ) /\ ( F ` P ) e. ( Base ` K ) ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) -> P =/= Q )
25 10 14 17 21 22 24 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> P =/= Q )
26 simp3l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` P ) = ( G ` P ) )
27 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F e. T /\ G e. T ) )
28 1 2 3 4 5 cdlemd6 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) -> ( F ` Q ) = ( G ` Q ) )
29 18 27 7 8 22 26 28 syl231anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` Q ) = ( G ` Q ) )
30 1 2 3 4 5 cdlemd5 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ ( F ` Q ) = ( G ` Q ) ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )
31 6 7 8 25 26 29 30 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )