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Theorem cdlemd9

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 2-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdlemd4.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemd4.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemd4.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemd4.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemd4.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion cdlemd9 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemd4.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemd4.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemd4.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 cdlemd4.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
5 cdlemd4.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
6 simpl1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) )
7 simpl2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
8 simpl3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( F ` P ) = ( G ` P ) )
9 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( F ` P ) = P )
10 1 2 3 4 5 cdlemd8 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )
11 6 7 8 9 10 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )
12 simpl11 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 simpl2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
14 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) -> F e. T )
15 14 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> F e. T )
16 1 3 4 5 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) )
17 12 15 13 16 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) )
18 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> ( F ` P ) =/= P )
19 18 necomd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> P =/= ( F ` P ) )
20 1 2 3 4 cdlemb2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) ) /\ P =/= ( F ` P ) ) -> E. s e. A ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) )
21 12 13 17 19 20 syl121anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> E. s e. A ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) )
22 simp1l1 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) )
23 simp1l2 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
24 simp2 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> s e. A )
25 simp3l 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> -. s .<_ W )
26 24 25 jca 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( s e. A /\ -. s .<_ W ) )
27 simp1l3 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` P ) = ( G ` P ) )
28 simp3r 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) )
29 1 2 3 4 5 cdlemd7 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )
30 22 23 26 27 28 29 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )
31 30 rexlimdv3a 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> ( E. s e. A ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) ) )
32 21 31 mpd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )
33 11 32 pm2.61dane 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )