Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme16c

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113, 3rd paragraph on p. 114, 2nd part of 3rd sentence. F and G represent f(s) and f(t) respectively. We show, in their notation, s \/ t \/ f(s) \/ f(t)=s \/ t \/ u. (Contributed by NM, 11-Oct-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme12.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme12.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme12.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme12.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme12.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme12.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme12.f 
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme12.g 
|- G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) )
Assertion cdleme16c 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ ( F .\/ G ) ) = ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme12.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdleme12.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdleme12.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdleme12.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdleme12.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdleme12.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
7 cdleme12.f 
 |-  F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
8 cdleme12.g 
 |-  G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) )
9 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> K e. HL )
10 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> W e. H )
11 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> P e. A )
12 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> Q e. A )
13 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
14 1 2 3 4 5 6 7 cdleme1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( S .\/ F ) = ( S .\/ U ) )
15 9 10 11 12 13 14 syl23anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( S .\/ F ) = ( S .\/ U ) )
16 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) )
17 1 2 3 4 5 6 8 cdleme1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) ) -> ( T .\/ G ) = ( T .\/ U ) )
18 9 10 11 12 16 17 syl23anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( T .\/ G ) = ( T .\/ U ) )
19 15 18 oveq12d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ F ) .\/ ( T .\/ G ) ) = ( ( S .\/ U ) .\/ ( T .\/ U ) ) )
20 simp21l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> S e. A )
21 simp22l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> T e. A )
22 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
23 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
24 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
25 simp23l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> P =/= Q )
26 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) )
27 1 2 3 4 5 6 7 cdleme3fa 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. A )
28 22 23 24 13 25 26 27 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> F e. A )
29 simp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. T .<_ ( P .\/ Q ) )
30 1 2 3 4 5 6 8 cdleme3fa 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. A )
31 22 23 24 16 25 29 30 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> G e. A )
32 2 4 hlatj4 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( S e. A /\ T e. A ) /\ ( F e. A /\ G e. A ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ ( F .\/ G ) ) = ( ( S .\/ F ) .\/ ( T .\/ G ) ) )
33 9 20 21 28 31 32 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ ( F .\/ G ) ) = ( ( S .\/ F ) .\/ ( T .\/ G ) ) )
34 simp12r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. P .<_ W )
35 1 2 3 4 5 6 lhpat2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> U e. A )
36 9 10 11 34 12 25 35 syl222anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> U e. A )
37 2 4 hlatjidm 
 |-  ( ( K e. HL /\ U e. A ) -> ( U .\/ U ) = U )
38 9 36 37 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( U .\/ U ) = U )
39 38 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ ( U .\/ U ) ) = ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )
40 2 4 hlatj4 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( S e. A /\ T e. A ) /\ ( U e. A /\ U e. A ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ ( U .\/ U ) ) = ( ( S .\/ U ) .\/ ( T .\/ U ) ) )
41 9 20 21 36 36 40 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ ( U .\/ U ) ) = ( ( S .\/ U ) .\/ ( T .\/ U ) ) )
42 39 41 eqtr3d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ U ) = ( ( S .\/ U ) .\/ ( T .\/ U ) ) )
43 19 33 42 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ ( F .\/ G ) ) = ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )