Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme18d

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 114, 4th sentence of 4th paragraph. F , G , D , E represent f(s), f_s(r), f(t), f_t(r) respectively. We show f_s(r) = f_t(r) for all possible r (which must equal p or q in the case of exactly 3 atoms in p \/ q/0 , i.e., when -. E. r e. A ... ). (Contributed by NM, 12-Nov-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme18d.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme18d.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme18d.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme18d.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme18d.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme18d.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme18d.f 
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme18d.g 
|- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme18d.d 
|- D = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) )
cdleme18d.e 
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) )
Assertion cdleme18d 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> G = E )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme18d.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdleme18d.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdleme18d.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdleme18d.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdleme18d.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdleme18d.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
7 cdleme18d.f 
 |-  F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
8 cdleme18d.g 
 |-  G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) )
9 cdleme18d.d 
 |-  D = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) )
10 cdleme18d.e 
 |-  E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) )
11 eleq1 
 |-  ( R = P -> ( R e. A <-> P e. A ) )
12 breq1 
 |-  ( R = P -> ( R .<_ W <-> P .<_ W ) )
13 12 notbid 
 |-  ( R = P -> ( -. R .<_ W <-> -. P .<_ W ) )
14 11 13 anbi12d 
 |-  ( R = P -> ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) <-> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) )
15 14 3anbi1d 
 |-  ( R = P -> ( ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) <-> ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) ) )
16 15 3anbi2d 
 |-  ( R = P -> ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) <-> ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) ) )
17 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
18 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
19 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> Q e. A )
20 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
21 simp322 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) )
22 eqid 
 |-  ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
23 1 2 3 4 5 6 7 22 cdleme17d1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = Q )
24 17 18 19 20 21 23 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = Q )
25 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) )
26 simp323 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. T .<_ ( P .\/ Q ) )
27 eqid 
 |-  ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) )
28 1 2 3 4 5 6 9 27 cdleme17d1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) = Q )
29 17 18 19 25 26 28 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) = Q )
30 24 29 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) )
31 16 30 syl6bi 
 |-  ( R = P -> ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) )
32 8 10 eqeq12i 
 |-  ( G = E <-> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) ) )
33 oveq1 
 |-  ( R = P -> ( R .\/ S ) = ( P .\/ S ) )
34 33 oveq1d 
 |-  ( R = P -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) = ( ( P .\/ S ) ./\ W ) )
35 34 oveq2d 
 |-  ( R = P -> ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) = ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
36 35 oveq2d 
 |-  ( R = P -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) )
37 oveq1 
 |-  ( R = P -> ( R .\/ T ) = ( P .\/ T ) )
38 37 oveq1d 
 |-  ( R = P -> ( ( R .\/ T ) ./\ W ) = ( ( P .\/ T ) ./\ W ) )
39 38 oveq2d 
 |-  ( R = P -> ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) = ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) )
40 39 oveq2d 
 |-  ( R = P -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) )
41 36 40 eqeq12d 
 |-  ( R = P -> ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) ) <-> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) )
42 32 41 syl5bb 
 |-  ( R = P -> ( G = E <-> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) )
43 31 42 sylibrd 
 |-  ( R = P -> ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> G = E ) )
44 43 com12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( R = P -> G = E ) )
45 eleq1 
 |-  ( R = Q -> ( R e. A <-> Q e. A ) )
46 breq1 
 |-  ( R = Q -> ( R .<_ W <-> Q .<_ W ) )
47 46 notbid 
 |-  ( R = Q -> ( -. R .<_ W <-> -. Q .<_ W ) )
48 45 47 anbi12d 
 |-  ( R = Q -> ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) <-> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
49 48 3anbi1d 
 |-  ( R = Q -> ( ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) <-> ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) ) )
50 breq1 
 |-  ( R = Q -> ( R .<_ ( P .\/ Q ) <-> Q .<_ ( P .\/ Q ) ) )
51 50 3anbi1d 
 |-  ( R = Q -> ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) <-> ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) )
52 51 3anbi2d 
 |-  ( R = Q -> ( ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) <-> ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) )
53 49 52 3anbi23d 
 |-  ( R = Q -> ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) <-> ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) ) )
54 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> K e. HL )
55 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> W e. H )
56 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
57 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
58 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
59 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P =/= Q )
60 simp322 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) )
61 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) )
62 eqid 
 |-  ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) )
63 1 2 3 4 5 6 7 62 cdleme18c 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = P )
64 54 55 56 57 58 59 60 61 63 syl233anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = P )
65 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) )
66 simp323 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. T .<_ ( P .\/ Q ) )
67 eqid 
 |-  ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) )
68 1 2 3 4 5 6 9 67 cdleme18c 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) = P )
69 54 55 56 57 65 59 66 61 68 syl233anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) = P )
70 64 69 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) )
71 53 70 syl6bi 
 |-  ( R = Q -> ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) )
72 oveq1 
 |-  ( R = Q -> ( R .\/ S ) = ( Q .\/ S ) )
73 72 oveq1d 
 |-  ( R = Q -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) )
74 73 oveq2d 
 |-  ( R = Q -> ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) = ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) )
75 74 oveq2d 
 |-  ( R = Q -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) )
76 oveq1 
 |-  ( R = Q -> ( R .\/ T ) = ( Q .\/ T ) )
77 76 oveq1d 
 |-  ( R = Q -> ( ( R .\/ T ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) )
78 77 oveq2d 
 |-  ( R = Q -> ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) = ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) )
79 78 oveq2d 
 |-  ( R = Q -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) )
80 75 79 eqeq12d 
 |-  ( R = Q -> ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) ) <-> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) )
81 32 80 syl5bb 
 |-  ( R = Q -> ( G = E <-> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) )
82 71 81 sylibrd 
 |-  ( R = Q -> ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> G = E ) )
83 82 com12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( R = Q -> G = E ) )
84 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> K e. HL )
85 simp321 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
86 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) )
87 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P e. A )
88 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> Q e. A )
89 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P =/= Q )
90 simp21l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> R e. A )
91 simp21r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. R .<_ W )
92 1 2 4 cdleme0nex 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( R = P \/ R = Q ) )
93 84 85 86 87 88 89 90 91 92 syl332anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( R = P \/ R = Q ) )
94 44 83 93 mpjaod 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> G = E )