Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme20l2

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113, last paragraph on p. 114, penultimate line. D , F , Y , G represent s_2, f(s), t_2, f(t) respectively. (Contributed by NM, 20-Nov-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme19.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme19.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme19.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme19.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme19.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme19.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme19.f 
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme19.g 
|- G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) )
cdleme19.d 
|- D = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
cdleme19.y 
|- Y = ( ( R .\/ T ) ./\ W )
cdleme20.v 
|- V = ( ( S .\/ T ) ./\ W )
Assertion cdleme20l2 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( F .\/ D ) ./\ ( G .\/ Y ) ) e. A )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme19.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdleme19.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdleme19.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdleme19.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdleme19.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdleme19.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
7 cdleme19.f 
 |-  F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
8 cdleme19.g 
 |-  G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) )
9 cdleme19.d 
 |-  D = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
10 cdleme19.y 
 |-  Y = ( ( R .\/ T ) ./\ W )
11 cdleme20.v 
 |-  V = ( ( S .\/ T ) ./\ W )
12 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> K e. HL )
13 12 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> K e. Lat )
14 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> W e. H )
15 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> P e. A )
16 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> Q e. A )
17 simp22l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> S e. A )
18 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
19 1 2 3 4 5 6 7 18 cdleme1b 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ S e. A ) ) -> F e. ( Base ` K ) )
20 12 14 15 16 17 19 syl23anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> F e. ( Base ` K ) )
21 simp21l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> R e. A )
22 1 2 3 4 5 9 18 cdlemedb 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> D e. ( Base ` K ) )
23 12 14 21 17 22 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> D e. ( Base ` K ) )
24 simp23l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> T e. A )
25 1 2 3 4 5 6 8 18 cdleme1b 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ T e. A ) ) -> G e. ( Base ` K ) )
26 12 14 15 16 24 25 syl23anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> G e. ( Base ` K ) )
27 1 2 3 4 5 10 18 cdlemedb 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ T e. A ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
28 12 14 21 24 27 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
29 18 2 latj4 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( F e. ( Base ` K ) /\ D e. ( Base ` K ) ) /\ ( G e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( F .\/ D ) .\/ ( G .\/ Y ) ) = ( ( F .\/ G ) .\/ ( D .\/ Y ) ) )
30 13 20 23 26 28 29 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( F .\/ D ) .\/ ( G .\/ Y ) ) = ( ( F .\/ G ) .\/ ( D .\/ Y ) ) )
31 simp1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
32 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
33 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) )
34 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
35 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( P =/= Q /\ S =/= T ) )
36 simp321 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) )
37 simp322 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> -. T .<_ ( P .\/ Q ) )
38 36 37 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) )
39 simp323 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdleme20d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F .\/ G ) ./\ ( D .\/ Y ) ) = V )
41 31 32 33 34 35 38 39 40 syl133anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( F .\/ G ) ./\ ( D .\/ Y ) ) = V )
42 simp22r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> -. S .<_ W )
43 simp31r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> S =/= T )
44 1 2 3 4 5 11 lhpat2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ S =/= T ) ) -> V e. A )
45 12 14 17 42 24 43 44 syl222anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> V e. A )
46 41 45 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( F .\/ G ) ./\ ( D .\/ Y ) ) e. A )
47 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
48 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
49 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
50 simp31l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> P =/= Q )
51 1 2 3 4 5 6 7 cdleme3fa 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. A )
52 47 48 49 32 50 36 51 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> F e. A )
53 1 2 3 4 5 6 8 cdleme3fa 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. A )
54 47 48 49 33 50 37 53 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> G e. A )
55 simp33r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> -. U .<_ ( S .\/ T ) )
56 1 2 3 4 5 6 7 8 cdleme16b 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> F =/= G )
57 31 32 33 35 36 37 55 56 syl133anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> F =/= G )
58 eqid 
 |-  ( LLines ` K ) = ( LLines ` K )
59 2 4 58 llni2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ F e. A /\ G e. A ) /\ F =/= G ) -> ( F .\/ G ) e. ( LLines ` K ) )
60 12 52 54 57 59 syl31anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( F .\/ G ) e. ( LLines ` K ) )
61 1 2 3 4 5 9 cdlemeda 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> D e. A )
62 12 14 17 42 21 39 36 61 syl223anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> D e. A )
63 simp23r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> -. T .<_ W )
64 1 2 3 4 5 10 cdlemeda 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Y e. A )
65 12 14 24 63 21 39 37 64 syl223anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> Y e. A )
66 simp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) )
67 simp33l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> -. R .<_ ( S .\/ T ) )
68 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdleme20j 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> D =/= Y )
69 47 48 49 34 32 33 35 66 67 68 syl333anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> D =/= Y )
70 2 4 58 llni2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ D e. A /\ Y e. A ) /\ D =/= Y ) -> ( D .\/ Y ) e. ( LLines ` K ) )
71 12 62 65 69 70 syl31anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( D .\/ Y ) e. ( LLines ` K ) )
72 eqid 
 |-  ( LPlanes ` K ) = ( LPlanes ` K )
73 2 3 4 58 72 2llnmj 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( F .\/ G ) e. ( LLines ` K ) /\ ( D .\/ Y ) e. ( LLines ` K ) ) -> ( ( ( F .\/ G ) ./\ ( D .\/ Y ) ) e. A <-> ( ( F .\/ G ) .\/ ( D .\/ Y ) ) e. ( LPlanes ` K ) ) )
74 12 60 71 73 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( ( F .\/ G ) ./\ ( D .\/ Y ) ) e. A <-> ( ( F .\/ G ) .\/ ( D .\/ Y ) ) e. ( LPlanes ` K ) ) )
75 46 74 mpbid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( F .\/ G ) .\/ ( D .\/ Y ) ) e. ( LPlanes ` K ) )
76 30 75 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( F .\/ D ) .\/ ( G .\/ Y ) ) e. ( LPlanes ` K ) )
77 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdleme20l1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F .\/ D ) e. ( LLines ` K ) )
78 47 48 49 21 17 42 50 36 39 77 syl333anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( F .\/ D ) e. ( LLines ` K ) )
79 eqid 
 |-  ( ( T .\/ S ) ./\ W ) = ( ( T .\/ S ) ./\ W )
80 1 2 3 4 5 6 8 7 10 9 79 cdleme20l1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G .\/ Y ) e. ( LLines ` K ) )
81 47 48 49 21 24 63 50 37 39 80 syl333anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( G .\/ Y ) e. ( LLines ` K ) )
82 2 3 4 58 72 2llnmj 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( F .\/ D ) e. ( LLines ` K ) /\ ( G .\/ Y ) e. ( LLines ` K ) ) -> ( ( ( F .\/ D ) ./\ ( G .\/ Y ) ) e. A <-> ( ( F .\/ D ) .\/ ( G .\/ Y ) ) e. ( LPlanes ` K ) ) )
83 12 78 81 82 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( ( F .\/ D ) ./\ ( G .\/ Y ) ) e. A <-> ( ( F .\/ D ) .\/ ( G .\/ Y ) ) e. ( LPlanes ` K ) ) )
84 76 83 mpbird 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( F .\/ D ) ./\ ( G .\/ Y ) ) e. A )