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Theorem cdleme25a

Description: Lemma for cdleme25b . (Contributed by NM, 1-Jan-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme24.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme24.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme24.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme24.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme24.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme24.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme24.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme24.f 
|- F = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
cdleme24.n 
|- N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ s ) ./\ W ) ) )
Assertion cdleme25a 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> E. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ N e. B ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme24.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme24.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme24.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme24.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme24.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme24.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme24.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdleme24.f 
 |-  F = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
9 cdleme24.n 
 |-  N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ s ) ./\ W ) ) )
10 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL )
11 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. H )
12 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
13 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
14 simp3l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P =/= Q )
15 2 3 5 6 cdlemb2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> E. s e. A ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) )
16 10 11 12 13 14 15 syl221anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> E. s e. A ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) )
17 10 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ s e. A ) -> K e. HL )
18 11 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ s e. A ) -> W e. H )
19 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A )
20 19 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ s e. A ) -> P e. A )
21 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A )
22 21 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ s e. A ) -> Q e. A )
23 simpl2l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ s e. A ) -> R e. A )
24 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ s e. A ) -> s e. A )
25 2 3 4 5 6 7 8 9 1 cdleme22gb 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ s e. A ) ) -> N e. B )
26 17 18 20 22 23 24 25 syl222anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ s e. A ) -> N e. B )
27 26 a1d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ s e. A ) -> ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) -> N e. B ) )
28 27 ancld 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ s e. A ) -> ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ N e. B ) ) )
29 28 reximdva 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( E. s e. A ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) -> E. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ N e. B ) ) )
30 16 29 mpd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> E. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ N e. B ) )