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Theorem cdleme32le

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 20-Feb-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme32.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme32.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme32.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme32.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme32.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme32.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme32.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme32.c 
|- C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
cdleme32.d 
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32.e 
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32.i 
|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
cdleme32.n 
|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
cdleme32.o 
|- O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
cdleme32.f 
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
Assertion cdleme32le 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme32.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme32.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme32.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme32.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme32.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme32.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme32.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdleme32.c 
 |-  C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
9 cdleme32.d 
 |-  D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
10 cdleme32.e 
 |-  E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
11 cdleme32.i 
 |-  I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
12 cdleme32.n 
 |-  N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
13 cdleme32.o 
 |-  O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
14 cdleme32.f 
 |-  F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
15 simpl1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
16 simpl2l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> X e. B )
17 simpl2r 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> Y e. B )
18 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) )
19 simpl3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> X .<_ Y )
20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 cdleme32d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
21 15 16 17 18 19 20 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
22 simp11 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
23 simp12 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
24 simp3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) )
25 simp2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) )
26 simp13 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> X .<_ Y )
27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 cdleme32f 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
28 22 23 24 25 26 27 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
29 28 3exp 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) -> ( -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) ) )
30 simp13 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> X .<_ Y )
31 simp12l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> X e. B )
32 simp3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) )
33 14 cdleme31fv2 
 |-  ( ( X e. B /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) = X )
34 31 32 33 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) = X )
35 simp12r 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> Y e. B )
36 simp2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) )
37 14 cdleme31fv2 
 |-  ( ( Y e. B /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) ) -> ( F ` Y ) = Y )
38 35 36 37 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` Y ) = Y )
39 30 34 38 3brtr4d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
40 39 3exp 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) -> ( -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) ) )
41 29 40 pm2.61d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) )
42 41 imp 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
43 21 42 pm2.61dan 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )