Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme37m

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Show that f(x) is one-to-one on P .\/ Q line. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 13-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme37.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme37.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme37.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme37.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme37.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme37.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme37.e 
|- E = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme37.d 
|- D = ( ( u .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ u ) ./\ W ) ) )
cdleme37.v 
|- V = ( ( t .\/ E ) ./\ W )
cdleme37.x 
|- X = ( ( u .\/ D ) ./\ W )
cdleme37.c 
|- C = ( ( S .\/ V ) ./\ ( E .\/ ( ( t .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme37.g 
|- G = ( ( S .\/ X ) ./\ ( D .\/ ( ( u .\/ S ) ./\ W ) ) )
Assertion cdleme37m 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> C = G )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme37.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdleme37.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdleme37.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdleme37.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdleme37.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdleme37.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
7 cdleme37.e 
 |-  E = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
8 cdleme37.d 
 |-  D = ( ( u .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ u ) ./\ W ) ) )
9 cdleme37.v 
 |-  V = ( ( t .\/ E ) ./\ W )
10 cdleme37.x 
 |-  X = ( ( u .\/ D ) ./\ W )
11 cdleme37.c 
 |-  C = ( ( S .\/ V ) ./\ ( E .\/ ( ( t .\/ S ) ./\ W ) ) )
12 cdleme37.g 
 |-  G = ( ( S .\/ X ) ./\ ( D .\/ ( ( u .\/ S ) ./\ W ) ) )
13 simp1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
14 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
15 simp32l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( t e. A /\ -. t .<_ W ) )
16 simp33l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( u e. A /\ -. u .<_ W ) )
17 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P =/= Q )
18 simp32r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. t .<_ ( P .\/ Q ) )
19 simp33r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. u .<_ ( P .\/ Q ) )
20 simp31r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> S .<_ ( P .\/ Q ) )
21 18 19 20 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( -. t .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) )
22 eqid 
 |-  ( ( S .\/ t ) ./\ W ) = ( ( S .\/ t ) ./\ W )
23 eqid 
 |-  ( ( S .\/ u ) ./\ W ) = ( ( S .\/ u ) ./\ W )
24 eqid 
 |-  ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( S .\/ t ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( S .\/ t ) ./\ W ) ) )
25 eqid 
 |-  ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( S .\/ u ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( S .\/ u ) ./\ W ) ) )
26 1 2 3 4 5 6 7 8 22 23 24 25 cdleme21k 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ ( u e. A /\ -. u .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( -. t .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( S .\/ t ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( S .\/ u ) ./\ W ) ) ) )
27 13 14 15 16 17 21 26 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( S .\/ t ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( S .\/ u ) ./\ W ) ) ) )
28 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
29 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P e. A )
30 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> Q e. A )
31 1 2 3 4 5 6 cdleme4 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( S .\/ U ) )
32 28 29 30 14 20 31 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( S .\/ U ) )
33 1 2 3 4 5 6 7 cdleme2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) ) -> ( ( t .\/ E ) ./\ W ) = U )
34 28 29 30 15 33 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( t .\/ E ) ./\ W ) = U )
35 9 34 syl5eq 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> V = U )
36 35 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( S .\/ V ) = ( S .\/ U ) )
37 32 36 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( S .\/ V ) )
38 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> K e. HL )
39 simp23l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> S e. A )
40 15 simpld 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> t e. A )
41 2 4 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ S e. A /\ t e. A ) -> ( S .\/ t ) = ( t .\/ S ) )
42 38 39 40 41 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( S .\/ t ) = ( t .\/ S ) )
43 42 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( S .\/ t ) ./\ W ) = ( ( t .\/ S ) ./\ W ) )
44 43 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( E .\/ ( ( S .\/ t ) ./\ W ) ) = ( E .\/ ( ( t .\/ S ) ./\ W ) ) )
45 37 44 oveq12d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( S .\/ t ) ./\ W ) ) ) = ( ( S .\/ V ) ./\ ( E .\/ ( ( t .\/ S ) ./\ W ) ) ) )
46 11 45 eqtr4id 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> C = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( S .\/ t ) ./\ W ) ) ) )
47 1 2 3 4 5 6 8 cdleme2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ ( u e. A /\ -. u .<_ W ) ) ) -> ( ( u .\/ D ) ./\ W ) = U )
48 28 29 30 16 47 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( u .\/ D ) ./\ W ) = U )
49 10 48 syl5eq 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> X = U )
50 49 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( S .\/ X ) = ( S .\/ U ) )
51 32 50 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( S .\/ X ) )
52 16 simpld 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> u e. A )
53 2 4 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ S e. A /\ u e. A ) -> ( S .\/ u ) = ( u .\/ S ) )
54 38 39 52 53 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( S .\/ u ) = ( u .\/ S ) )
55 54 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( S .\/ u ) ./\ W ) = ( ( u .\/ S ) ./\ W ) )
56 55 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( D .\/ ( ( S .\/ u ) ./\ W ) ) = ( D .\/ ( ( u .\/ S ) ./\ W ) ) )
57 51 56 oveq12d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( S .\/ u ) ./\ W ) ) ) = ( ( S .\/ X ) ./\ ( D .\/ ( ( u .\/ S ) ./\ W ) ) ) )
58 12 57 eqtr4id 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( S .\/ u ) ./\ W ) ) ) )
59 27 46 58 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( u e. A /\ -. u .<_ W ) /\ -. u .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> C = G )