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Theorem cdleme41sn3a

Description: Show that [_ R / s ]_ N is under P .\/ Q when R .<_ ( P .\/ Q ) . (Contributed by NM, 19-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme32.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme32.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme32.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme32.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme32.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme32.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme32.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme32.c 
|- C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
cdleme32.d 
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32.e 
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32.i 
|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
cdleme32.n 
|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
cdleme32a1.y 
|- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32a1.z 
|- Z = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )
Assertion cdleme41sn3a 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N .<_ ( P .\/ Q ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme32.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme32.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme32.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme32.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme32.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme32.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme32.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdleme32.c 
 |-  C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
9 cdleme32.d 
 |-  D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
10 cdleme32.e 
 |-  E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
11 cdleme32.i 
 |-  I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
12 cdleme32.n 
 |-  N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
13 cdleme32a1.y 
 |-  Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
14 cdleme32a1.z 
 |-  Z = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )
15 simp2rl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> R e. A )
16 simp3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
17 10 11 12 13 14 cdleme31sn1c 
 |-  ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = Z )
18 15 16 17 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = Z )
19 1 fvexi 
 |-  B e. _V
20 nfv 
 |-  F/ t ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) )
21 nfra1 
 |-  F/ t A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y )
22 nfcv 
 |-  F/_ t B
23 21 22 nfriota 
 |-  F/_ t ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )
24 14 23 nfcxfr 
 |-  F/_ t Z
25 nfcv 
 |-  F/_ t .<_
26 nfcv 
 |-  F/_ t ( P .\/ Q )
27 24 25 26 nfbr 
 |-  F/ t Z .<_ ( P .\/ Q )
28 27 a1i 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> F/ t Z .<_ ( P .\/ Q ) )
29 14 a1i 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Z = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
30 breq1 
 |-  ( Y = Z -> ( Y .<_ ( P .\/ Q ) <-> Z .<_ ( P .\/ Q ) ) )
31 30 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ Y = Z ) -> ( Y .<_ ( P .\/ Q ) <-> Z .<_ ( P .\/ Q ) ) )
32 simpl11 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
33 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P e. A )
34 33 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P e. A )
35 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Q e. A )
36 35 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> Q e. A )
37 15 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> R e. A )
38 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> t e. A )
39 2 3 4 5 6 7 9 13 cdleme4a 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ t e. A ) -> Y .<_ ( P .\/ Q ) )
40 32 34 36 37 38 39 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> Y .<_ ( P .\/ Q ) )
41 40 ex 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Y .<_ ( P .\/ Q ) ) )
42 simp1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
43 simp2rr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> -. R .<_ W )
44 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P =/= Q )
45 1 2 3 4 5 6 7 9 13 14 cdleme25cl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Z e. B )
46 42 15 43 44 16 45 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Z e. B )
47 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
48 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
49 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
50 2 3 5 6 cdlemb2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> E. t e. A ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) )
51 47 48 49 44 50 syl121anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> E. t e. A ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) )
52 20 28 29 31 41 46 51 riotasv3d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ B e. _V ) -> Z .<_ ( P .\/ Q ) )
53 19 52 mpan2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Z .<_ ( P .\/ Q ) )
54 18 53 eqbrtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N .<_ ( P .\/ Q ) )