Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme43fsv1snlem

Description: Value of [_ R / s ]_ N when R .<_ ( P .\/ Q ) . (Contributed by NM, 30-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemefs32.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemefs32.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemefs32.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemefs32.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemefs32.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemefs32.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemefs32.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdlemefs32.d 
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemefs32.e 
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemefs32.i 
|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
cdlemefs32.n 
|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
cdleme43fs.y 
|- Y = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme43fs.z 
|- Z = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( Y .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme43fsa1.v 
|- V = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme43fsa1.x 
|- X = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = V ) )
Assertion cdleme43fsv1snlem 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> [_ R / s ]_ N = Z )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemefs32.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemefs32.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemefs32.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemefs32.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemefs32.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemefs32.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemefs32.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdlemefs32.d 
 |-  D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9 cdlemefs32.e 
 |-  E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10 cdlemefs32.i 
 |-  I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
11 cdlemefs32.n 
 |-  N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
12 cdleme43fs.y 
 |-  Y = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
13 cdleme43fs.z 
 |-  Z = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( Y .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) )
14 cdleme43fsa1.v 
 |-  V = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
15 cdleme43fsa1.x 
 |-  X = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = V ) )
16 simp22l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R e. A )
17 simp3l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
18 9 10 11 14 15 cdleme31sn1c 
 |-  ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = X )
19 16 17 18 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> [_ R / s ]_ N = X )
20 1 fvexi 
 |-  B e. _V
21 nfv 
 |-  F/ t ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) )
22 nfra1 
 |-  F/ t A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = V )
23 nfcv 
 |-  F/_ t B
24 22 23 nfriota 
 |-  F/_ t ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = V ) )
25 15 24 nfcxfr 
 |-  F/_ t X
26 25 nfeq1 
 |-  F/ t X = Z
27 26 a1i 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F/ t X = Z )
28 15 a1i 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> X = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = V ) ) )
29 eqeq1 
 |-  ( V = X -> ( V = Z <-> X = Z ) )
30 29 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ V = X ) -> ( V = Z <-> X = Z ) )
31 simpl1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
32 simpl22 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
33 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> t e. A )
34 simprrl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. t .<_ W )
35 33 34 jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( t e. A /\ -. t .<_ W ) )
36 simpl23 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
37 simpl21 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P =/= Q )
38 simprrr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. t .<_ ( P .\/ Q ) )
39 simpl3r 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) )
40 simpl3l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
41 38 39 40 3jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( -. t .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) )
42 eqid 
 |-  ( ( R .\/ t ) ./\ W ) = ( ( R .\/ t ) ./\ W )
43 eqid 
 |-  ( ( R .\/ S ) ./\ W ) = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
44 2 3 4 5 6 7 8 12 42 43 14 13 cdleme21k 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( -. t .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> V = Z )
45 31 32 35 36 37 41 44 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> V = Z )
46 45 ex 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( t e. A /\ ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> V = Z ) )
47 simp1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
48 simp22r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. R .<_ W )
49 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P =/= Q )
50 1 2 3 4 5 6 7 8 14 15 cdleme25cl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> X e. B )
51 47 16 48 49 17 50 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> X e. B )
52 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
53 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
54 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
55 2 3 5 6 cdlemb2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q ) -> E. t e. A ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) )
56 52 53 54 49 55 syl121anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> E. t e. A ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) )
57 21 27 28 30 46 51 56 riotasv3d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ B e. _V ) -> X = Z )
58 20 57 mpan2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> X = Z )
59 19 58 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> [_ R / s ]_ N = Z )