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Theorem cdleme46fvaw

Description: Show that ( FR ) is an atom not under W when R is an atom not under W . (Contributed by NM, 18-Apr-2013)

		Ref	Expression
	Hypotheses	cdlemef46.b	\|- B = ( Base ` K )
		cdlemef46.l	\|- .<_ = ( le ` K )
		cdlemef46.j	\|- .\/ = ( join ` K )
		cdlemef46.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
		cdlemef46.a	\|- A = ( Atoms ` K )
		cdlemef46.h	\|- H = ( LHyp ` K )
		cdlemef46.u	\|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
		cdlemef46.d	\|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
		cdlemefs46.e	\|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
		cdlemef46.f	\|- F = ( x e. B \|-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
	Assertion	cdleme46fvaw	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( ( F ` R ) e. A /\ -. ( F ` R ) .<_ W ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemef46.b	\|- B = ( Base ` K )
2		cdlemef46.l	\|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemef46.j	\|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemef46.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemef46.a	\|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemef46.h	\|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemef46.u	\|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8		cdlemef46.d	\|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9		cdlemefs46.e	\|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10		cdlemef46.f	\|- F = ( x e. B \|-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
11		vex	\|- s e. _V
12		eqid	\|- ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) ) = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
13	8 12	cdleme31sc	\|- ( s e. _V -> [_ s / t ]_ D = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) ) )
14	11 13	ax-mp	\|- [_ s / t ]_ D = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
15		eqid	\|- ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
16		eqid	\|- if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D )
17		eqid	\|- ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
18	1 2 3 4 5 6 7 14 8 9 15 16 17 10	cdleme32fvaw	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( ( F ` R ) e. A /\ -. ( F ` R ) .<_ W ) )