cdleme50f1o

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-Apr-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemef50.b	\|- B = ( Base ` K )
	cdlemef50.l	\|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemef50.j	\|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemef50.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemef50.a	\|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemef50.h	\|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemef50.u	\|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
	cdlemef50.d	\|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
	cdlemefs50.e	\|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
	cdlemef50.f	\|- F = ( x e. B \|-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
Assertion	cdleme50f1o	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemef50.b	\|- B = ( Base ` K )
2		cdlemef50.l	\|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemef50.j	\|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemef50.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemef50.a	\|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemef50.h	\|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemef50.u	\|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8		cdlemef50.d	\|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9		cdlemefs50.e	\|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10		cdlemef50.f	\|- F = ( x e. B \|-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
11	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdleme50f1	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-> B )
12	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdleme50rn	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ran F = B )
13		dff1o5	\|- ( F : B -1-1-onto-> B <-> ( F : B -1-1-> B /\ ran F = B ) )
14	11 12 13	sylanbrc	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )

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