Theorem cdleme50rnlem

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. TODO: fix comment. TODO: can we get rid of G stuff if we show G =`' F ` earlier? (Contributed by NM, 9-Apr-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemef50.b	|- B = ( Base ` K )
	cdlemef50.l	|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemef50.j	|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemef50.m	|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemef50.a	|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemef50.h	|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemef50.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
	cdlemef50.d	|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
	cdlemefs50.e	|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
	cdlemef50.f	|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
	cdlemef50.v	|- V = ( ( Q .\/ P ) ./\ W )
	cdlemef50.n	|- N = ( ( v .\/ V ) ./\ ( P .\/ ( ( Q .\/ v ) ./\ W ) ) )
	cdlemefs50.o	|- O = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( N .\/ ( ( u .\/ v ) ./\ W ) ) )
	cdlemef50.g	|- G = ( a e. B |-> if ( ( Q =/= P /\ -. a .<_ W ) , ( iota_ c e. B A. u e. A ( ( -. u .<_ W /\ ( u .\/ ( a ./\ W ) ) = a ) -> c = ( if ( u .<_ ( Q .\/ P ) , ( iota_ b e. B A. v e. A ( ( -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( Q .\/ P ) ) -> b = O ) ) , [_ u / v ]_ N ) .\/ ( a ./\ W ) ) ) ) , a ) )
Assertion	cdleme50rnlem	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ran F = B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemef50.b	|- B = ( Base ` K )
2		cdlemef50.l	|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemef50.j	|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemef50.m	|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemef50.a	|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemef50.h	|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemef50.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8		cdlemef50.d	|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9		cdlemefs50.e	|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10		cdlemef50.f	|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
11		cdlemef50.v	|- V = ( ( Q .\/ P ) ./\ W )
12		cdlemef50.n	|- N = ( ( v .\/ V ) ./\ ( P .\/ ( ( Q .\/ v ) ./\ W ) ) )
13		cdlemefs50.o	|- O = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( N .\/ ( ( u .\/ v ) ./\ W ) ) )
14		cdlemef50.g	|- G = ( a e. B |-> if ( ( Q =/= P /\ -. a .<_ W ) , ( iota_ c e. B A. u e. A ( ( -. u .<_ W /\ ( u .\/ ( a ./\ W ) ) = a ) -> c = ( if ( u .<_ ( Q .\/ P ) , ( iota_ b e. B A. v e. A ( ( -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( Q .\/ P ) ) -> b = O ) ) , [_ u / v ]_ N ) .\/ ( a ./\ W ) ) ) ) , a ) )
15	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdleme50f	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B --> B )
16	15	frnd	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ran F C_ B )
17	1 2 3 4 5 6 11 12 13 14	cdlemeg46fvcl	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ e e. B ) -> ( G ` e ) e. B )
18	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	cdleme48fgv	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ e e. B ) -> ( F ` ( G ` e ) ) = e )
19		fveqeq2	|- ( d = ( G ` e ) -> ( ( F ` d ) = e <-> ( F ` ( G ` e ) ) = e ) )
20	19	rspcev	|- ( ( ( G ` e ) e. B /\ ( F ` ( G ` e ) ) = e ) -> E. d e. B ( F ` d ) = e )
21	17 18 20	syl2anc	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ e e. B ) -> E. d e. B ( F ` d ) = e )
22	15	adantr	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ e e. B ) -> F : B --> B )
23		ffn	|- ( F : B --> B -> F Fn B )
24		fvelrnb	|- ( F Fn B -> ( e e. ran F <-> E. d e. B ( F ` d ) = e ) )
25	22 23 24	3syl	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ e e. B ) -> ( e e. ran F <-> E. d e. B ( F ` d ) = e ) )
26	21 25	mpbird	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ e e. B ) -> e e. ran F )
27	16 26	eqelssd	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ran F = B )