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Theorem cdlemefrs32fva1

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemefrs27.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemefrs27.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemefrs27.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemefrs27.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemefrs27.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemefrs27.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemefrs27.eq 
|- ( s = R -> ( ph <-> ps ) )
cdlemefrs27.nb 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
cdlemefrs27.rnb 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> [_ R / s ]_ N e. B )
cdleme29frs.o 
|- O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
cdleme29frs.f 
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
Assertion cdlemefrs32fva1 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( F ` R ) = [_ R / s ]_ N )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemefrs27.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemefrs27.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemefrs27.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemefrs27.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemefrs27.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemefrs27.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemefrs27.eq 
 |-  ( s = R -> ( ph <-> ps ) )
8 cdlemefrs27.nb 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
9 cdlemefrs27.rnb 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> [_ R / s ]_ N e. B )
10 cdleme29frs.o 
 |-  O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
11 cdleme29frs.f 
 |-  F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
12 simp2rl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> R e. A )
13 1 5 atbase 
 |-  ( R e. A -> R e. B )
14 12 13 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> R e. B )
15 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> P =/= Q )
16 simp2rr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> -. R .<_ W )
17 10 11 cdleme31fv1s 
 |-  ( ( R e. B /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ W ) ) -> ( F ` R ) = [_ R / x ]_ O )
18 14 15 16 17 syl12anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( F ` R ) = [_ R / x ]_ O )
19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdlemefrs32fva 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> [_ R / x ]_ O = [_ R / s ]_ N )
20 18 19 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( F ` R ) = [_ R / s ]_ N )